Diracova notace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Diracova notace (nebo také Diracově symbolika) je způsob zápisu vektorů běžně používaný v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Jde o zápis vektorů v Hilbertově prostoru, který zavedl P.A.M. Dirac. Symbolika je též známá jako braketová.

[editovat] Definice

Vektor a je označován symbolem $|a\rangle$ . Protože jsme v prostoru se skalárním součinem $(\cdot,\cdot)$ , je dobře definován duální vektor $\mathbf{a}^*=(\mathbf{a},\cdot)$ ) a značí se $\langle a|$ . Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru $\langle a|$ na ket-vektor $|b\rangle$ je podle definice jejich skalární součin $\langle a | b\rangle=(\mathbf{b},\mathbf{a})$ , což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a). Pokud souřadnice vektoru $|a\rangle$ jsou v nějaké ortonormální bázi

$|a\rangle = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix},$

pak souřadnice vektoru $\langle a|$ v duální bázi jsou $\langle a| = (a_1^*, a_2^*, \cdots, a_n^*)$ (* označuje komplexní združení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že $\langle a|$ je hermiteovsky sdružený vektor k $|a\rangle$ .

[editovat] Použití

Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např.

$\hat L|L\rangle = L|L\rangle$ ,

kde $\hat L$ je operátor, $L$ představuje jeho vlastní číslo a $|L\rangle$ jeho vlastní vektor.

V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar

$\hat L |L_n\rangle = L_n|L_n\rangle = L_n |n\rangle$

Pro hermiteovský operátor $\hat A$ , tzn. ${\hat A}^+ = \hat A$ , pro který platí

$\hat A|f\rangle = |g\rangle$

pak také platí

$\langle g| = {(|g\rangle)}^+ = {(\hat A |f\rangle)}^+ = {(|f\rangle)}^+ {\hat A}^+ = \langle f|{\hat A}$

Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).

Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi $|e_1\rangle,\ldots,|e_k\rangle$ se dá napsat jako $\sum_i |e_i\rangle\langle e_i|$ (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).