Vlastní číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice označuje vlastní vektor dané transformace nenulový vektor, jehož směr se při transformaci nemění. Koeficient, o který se změní velikost vektoru, se nazývá vlastní číslo (hodnota) daného vektoru. Množina vlastních vektorů určuje vlastní prostor transformace.

Je zvykem označovat přídavným jménem vlastní libovolný název související s řešením i v případě, že se nejedná o vektor, např. vlastní řešení místo vlastní vektor, vlastní funkce, pokud řešením není vektor, ale funkce, vlastní stav pokud je řešením kvantový stav, apod.

Vlastní čísla hrají důležitou roli nejen v lineární algebře a funkcionální analýze, ale také v kvantové fyzice.

Obsah

1 Definice
2 Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů matice
- 2.1 Příklad
3 Vlastnosti
4 Spektrum operátoru
5 Související články

[editovat] Definice

Uvažujme rovnici

$\hat A u = A u$ ,

kde $\hat A$ označuje operátor.

Všechna netriviální řešení (tzn. řešení, která nejsou identicky rovna nule), která jsou jednoznačná, ohraničená, spojitá a kvadraticky integrabilní (na celém intervalu), označujeme jako vlastní (charakteristické) řešení (funkce). Hodnoty A příslušející vlastním řešením označujeme jako vlastní (charakteristická) čísla (hodnoty).

Je-li operátorem čtvercová matice $\mathbf{A}$ řádu $n$ a existuje-li číslo $λ$ a vektor $\mathbf{u} \in \mathbb{R}_n, \mathbf{u} \neq \mathbf{0}$ , pro které platí

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{u} = \lambda \mathbf{u}$ ,

pak $λ$ se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) matice $\mathbf{A}$ a $\mathbf{u}$ vlastní vektor matice $\mathbf{A}$ příslušný vlastní hodnotě $λ$ .

[editovat] Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů matice

Definice určuje soustavu lineárních rovnic

$\sum_{j=1}^n a_{ij} u_j = \lambda u_i$

pro $i = 1, 2, \cdots, n$ .

Proměnnou $\mathbf{u}$ na pravé straně lze pomocí Kroneckerova symbolu vyjádřit jako

$u_i = \sum_{j=1}^n u_j \delta_{ij}$

Dosazením do předchozí vztahu pak dostaneme

$\sum_{j=1}^n ( a_{ij} - \lambda \delta_{ij}) u_j = 0$ ,

což lze vyjádřit maticově jako

$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E})\cdot \mathbf{u} = \mathbf{0}$ ,

kde $\mathbf{E}$ je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o $n$ neznámých. Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí

$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = 0$ ,

což lze rozepsat

$\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \end{vmatrix} = 0$ .

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice.

Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice $\mathbf{A}$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice $\mathbf{A}$ . Proto má matice $\mathbf{A}$ vždy $n$ vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat jakožto násobná vlastní čísla.

Vlastní vektory matice $\mathbf{A}$ vyhovují rovnici $(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E})\cdot \mathbf{u} = \mathbf{0}$ pro jednotlivá vlastní čísla.

Libovolný násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti $m$ existuje nejvýše $m$ různých vlastních vektorů.

[editovat] Příklad

Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice

$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

Charakteristická rovnice má tvar

$\begin{vmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 2 & - \lambda \end{vmatrix} = 0$ .

Po jejím rozepsání dostaneme kvadratickou rovnici

$\lambda^2 - 3 \lambda + 2 = 0 \,$

Řešením této rovnice získáme vlastní čísla

$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1 \,$

Vlastní vektor $\mathbf{u}_1$ příslušný vlastní hodnotě $λ 1$ získáme řešením soustavy lineárních rovnic

$\begin{pmatrix} 3 - \lambda_1 & -1 \\ 2 & - \lambda_1 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & - 2 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_1 = \mathbf{0}$

Řešením této rovnice je např. vektor

$\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Vlastní vektor $\mathbf{u}_2$ příslušný vlastní hodnotě $λ 2$ získáme řešením soustavy lineárních rovnic

$\begin{pmatrix} 3 - \lambda_2 & -1 \\ 2 & - \lambda_2 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_2 = \mathbf{0}$

Řešením této rovnice je např. vektor

$\mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

[editovat] Vlastnosti

Nula je vlastním číslem matice $\mathbf{A}$ právě tehdy, když je matice singulární. Je-li matice $\mathbf{A}$ regulární, pak nula není jejím vlastním číslem.
Je-li matice $\mathbf{A}$ symetrická, pak všechna její vlastní čísla jsou reálná.
Jestliže k matici $\mathbf{A}$ existuje inverzní matice $\mathbf{A}^{-1}$ , pak $λ$ je vlastním číslem matice $\mathbf{A}$ tehdy, je-li $\frac{1}{\lambda}$ vlastním číslem matice $\mathbf{A}^{-1}$ . Přitom platí, že vlastní vektory matice $\mathbf{A}$ odpovídající vlastnímu číslu $λ$ jsou stejné jako vlastní vektory matice $\mathbf{A}^{-1}$ odpovídající vlastnímu číslu $λ - 1$ .
Pokud má matice $\mathbf{A}$ vlastní číslo $λ$ a odpovídající vlastní vektor $\mathbf{u}$ , pak matice $\mathbf{A}^2$ má vlastní číslo $λ 2$ a jemu odpovídající vlastní vektor je $\mathbf{u}$ .
Je-li vlastním číslem matice $\mathbf{A}$ komplexní číslo $z$ , pak je také komplexně sdružené číslo $\overline z$ vlastním číslem matice $\mathbf{A}$ .
Je-li lineární operátor $\hat A$ hermiteovský, jsou všechna vlastní čísla reálná. Vlastní funkce však mohou být komplexními veličinami.

[editovat] Spektrum operátoru

Množina všech vlastních čísel tvoří spektrum operátoru. Spektrum operátoru může být spojité, diskrétní nebo částečně spojité a částečně diskrétní.

Nechť $\hat A$ je lineární operátor.

Pokud ke každému vlastnímu číslu $A n$ přísluší právě jedna vlastní funkce $u n$ , pak říkáme, že operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.

Pokud některým vlastním číslům $A n$ přísluší několik lineárně nezávislých vlastní funkcí $u n μ$ , tzn.

$\hat A u_{n\mu} = A_n u_{n\mu}$ ,