Собственные векторы, значения и пространства

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора
2 Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств
3 Литература

[править] Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора

Пусть $L$ — линейное пространство над полем $K$ , $A: L \to L$ — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования $A$ называется такой ненулевой вектор $x \in L$ , что для некоторого $\lambda \in K$

A x = λ x

Собственным значением линейного преобразования $A$ называется такое число $\lambda \in K$ , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение $A x = λ x$ имеет ненулевое решение $x \in L$ .

Собственным подпространством линейного преобразования $A$ для данного собственного числа $\lambda \in K$ называется множество всех собственных векторов $x \in L$ , соответстветствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его $E λ$ . По определению,

$E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot 1),$

где $1$ — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования $A$ для данного собственного значения $\lambda \in K$ называется такой ненулевой вектор $x \in L$ , что для некоторого натурального числа $m$

$(A-\lambda \cdot 1)^m x =0.$

Если $m$ является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть $(A-\lambda \cdot 1)^{m-1} x \neq 0$ ), то $m$ называется высотой корневого вектора $x$ .

Корневым подпространством линейного преобразования $A$ для данного собственного числа $\lambda \in K$ называется множество всех корневых векторов $x \in L$ , соответстветствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его $V λ$ . По определению,

$V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot 1)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda},$

где $V_{m,\lambda}= \ker(A-\lambda \cdot 1)^m$ . ...

[править] Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

[править] Общий случай

Инвариантным подпространством относительно линейного преобразования $A$ (или $A$ -инвариантным подпространством) называется такое линейное подпространство $V \subset L$ , что для любого $x \in V$ , выполняется $Ax \in V$ , то есть

$AV \subseteq V$ .

Важным свойством введенных подпространств является их $A$ -инвариантность: собственные подпространства $E λ$ , корневые подпространства $V λ$ , а также подпространства $V m,λ$ $A$ -инвариантны.

Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): $E_{\lambda} \subseteq V_{\lambda}$ ;

Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

$A= \begin{pmatrix} 1& 1\\ 0&1\end{pmatrix}$

$(A - 1) 2 = 0$ , и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но $A$ имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

$V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\}$ если $\lambda \neq \mu$ .

[править] Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в $n$ мерном линейном пространстве $L$ , можно сопоставить линейному преобразованию $A: L \to L$ квадратную $n\times n$ матрицу и определить для нее характеристический многочлен: $P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot 1)$ .

Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.

Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда:

Характеристический многочлен разлагается в произведение $n$ линейных множителей -

$P_A(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda - \lambda_i )$ ,

где $\lambda_i \; (i=1,...n )$ — собственные значения; некоторые из $λ i$ могут быть равны. Кратность собственного значения $λ i$ — это число множителей равных $λ - λ i$ в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

Размерность корневого пространства $V_{\lambda_i}$ равна кратности собственного значения.
Векторное пространство $L$ разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о Жордановой форме):

$L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i},$

где суммирование производится по всем $λ i$ — собственным числам $A$ .

Геометрическая кратность собственного значения $λ i$ — это размерность соответствующего собственного подпространства $E_{\lambda_i}$ ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку $E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i}$

[править] Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор $A$ , коммутирующий со своим сопряженным $A *$ :

A A * = A * A

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые - иначе эрмитовы - операторы ( $A = A *$ ), антиэрмитовы операторы ( $A = - A *$ ) и унитарные операторы ( $A - 1 = A *$ ), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.

Собственные векторы нормального оператора $A$ , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если $A x = λ x$ , $A y = μ y$ и $\lambda \neq \mu$ , то $(x, y) = 0$ . (Для произвольного оператора это неверно.)

Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.

Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.

Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности $| λ | = 1$ .

В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

$L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i},$

где суммирование производится по всем

λ i

— собственным числам

A

, а $E_{\lambda_i}$ взаимно ортогональны для различных

λ i

Последнее свойство для нормального оператора является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

[править] Положительные матрицы

Квадратная вещественная $n \times n$ матрица $A = (a i j)$ называется положительной, если все её элементы положительны: $a i j > 0$ .

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица $A$ имеет положительное собственное значение $r$ , которое имеет алебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению $r$ соответствует собственный вектор $e r$ , все координаты которого строго положительны. Вектор $e r$ — единственный собственный вектор $A$ (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор $e r$ может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор $v 0$ с положительными координатами. Положим:

$v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}$ .

Последовательность $v k$ сходится к нормированному собственному вектору $e_r / \|e_r\|$ .

[править] Литература

Гантмахер Ф. Р., Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 стр.
Уилкинсон Д. Х., Алгебраическая проблема собственных значений. — М.:Наука, 1970. — 564 с

Скрытые категории: Википедия:Избранные статьи es-wiki | Википедия:Избранные статьи it-wiki | Википедия:Избранные статьи zh-wiki

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Собственные векторы, значения и пространства

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора

[править] Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

[править] Общий случай

[править] Конечномерные линейные пространства

[править] Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

[править] Положительные матрицы

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках