Množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Množina je soubor objektů, chápaný jako celek. Objekty množiny se nazývají prvky množiny. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Množina, neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina. V matematice existuje abstraktní teorie množin, zkoumající množiny z formálního hlediska.

Slova G. Cantora:

Množina je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny.

[editovat] Obecně

V matematice množiny často značíme velkými písmeny, její prvky malými. Je-li prvek $a$ prvkem množiny $B$ , píšeme: $a\in B$

Prázdnou množinu značíme symbolem: $\empty$

Množina je obvykle určena výčtem jejích prvků nebo definováním charakteristické vlastnosti prvků množiny.

Při popisu výčtem prvků postupujeme tak, že vypíšeme všechny prvky, které patří do dané množiny, např. množinu $A$ obsahující prvky 1, 2, 5, 8 vyjádříme jako $A = {1,2,5,8}$ . Při zadání množiny výčtem prvků nezáleží na pořadí prvků, tzn. množina ${a, b, c}$ je totožná s množinou ${c, b, a}$ .

Při definování množiny pomocí charakteristické vlastnosti určíme vlastnost, která je charakteristická pro prvky, které patří do dané množiny. Např. množinu $A$ obsahující samohlásky latinské abecedy můžeme zapsat jako $A= \{ x | x\; je\; samohl\acute{a}skou\; latinsk\acute{e}\; abecedy\}$ . Taková množina pak obsahuje prvky ${a, e, i, o, u, y}$ (tento zápis, který je ekvivalentní předchozímu, zadává množinu $A$ výčtem prvků). U takové definice množiny (charakteristickou vlastností) musíme však být opatrní, protože můžeme snadno dostat paradox. Například množina všech takových množin, které neobsahují sama sebe, je zjevně nesmysl, protože z definice se má sama obsahovat právě když se sama neobsahuje.

Právě takové důvody vedly na začátku 20. století ke vzniku axiomatické teorie množin, ve které jsou položena přesná pravidla o tom, co množina je a co není. V současnosti je takových axiomatických teorií několik, nejpoužívanější je Zermelo-Fraenkelova teorie množin (ZF).

V takových axiomatizovaných teoriích množin, obvykle nesmí množina obsahovat jiné prvky, než zase jenom množiny a nic jiného. K sestavení dalších množin nám postačí prázdná množina. Můžeme tak získat například množiny:

$\{\empty\}$ je množina obsahující prázdnou množinu

$\{\empty, \{\empty\}\}$ je množina obsahující prázdnou množinu a množinu obsahující prázdnou množinu.

Pokud nám to axiomy dané teorie množin dovolí, můžeme zkonstruovat i nekonečné množiny, například:

$\{\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\}, \{\{\{\empty\}\}\},...,\{...\{\empty\}...\},...\}$

[editovat] Často kladené otázky

Je každý soubor prvků množina?

V běžném jazyce obvykle ano. V matematice ne: například neexistuje množina obsahující všechny množiny (Russellova antinomie). Ale pro podobné soubory prvků, které nemusí být množinami, existuje pojem třída.

Jaká množina je větší? Je víc celých čísel, nebo celých sudých čísel?

Je jich stejně mnoho v tom smyslu, že se dají na sebe vzájemně jednoznačně (bijektivně) zobrazit.

Jak se porovnávají velikosti množin? Existují větší a menší nekonečna?

Množiny jsou stejně veliké, pokud se dají na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit. Pokud se jedna množina dá prostě zobrazit do druhé, ale opačně ne, říkáme, že druhá množina je větší (neboli má větší mohutnost). V tomto smyslu opravdu existují větší i menší nekonečna. Například množina reálných čísel je větší (t.j. má větší mohutnost) než množina přirozených čísel. Množina přirozených čísel je však stejně veliká (t.j. má stejnou mohutnost) jako množina všech racionálních čísel.

Existuje největší nekonečno?

Ne, neexistuje. Pro libovolně velkou množinu existuje množina, která má větší mohutnost. Například množina všech jejích podmnožin.