Kopa

Vikipēdijas raksts

Ar vārdu kopa matemātikā saprot dažādu atsevišķu objektu apvienojumu vienā veselumā. Kopas un to īpašības pēta kopu teorija.

Objektus, no kuriem sastāv kopa, sauc par kopas elementiem.

Kopas parasti apzīmē ar alfabēta lielajiem burtiem, bet kopas elementus - ar mazajiem burtiem.

[izmainīt šo sadaļu] Kopu aprakstīšana

Kopu iespējams aprakstīt, piemēram, uzrādot visus tās elementus. Ja tas nav iespējams (piemēram, bezgalīgas kopas gadījumā), tad norāda kopīgo īpašību, kāda piemīt šīs kopas elementiem un nepiemīt nevienam citam objektam.

[izmainīt šo sadaļu] Īpašās kopas

Vairākām kopām to matemātiskā svarīguma un biežā lietojuma dēļ ir piešķirti īpaši apzīmējumi:

$\mathbb{N}$ - naturālo skaitļu kopa;
$\mathbb{Z}$ - veselo skaitļu kopa;
$\mathbb{Q}$ - racionālo skaitļu kopa;
$\mathbb{I}$ - iracionālo skaitļu kopa;
$\mathbb{R}$ - reālo skaitļu kopa;
$\mathbb{C}$ - komplekso skaitļu kopa;
$\emptyset$ - tukšā kopa (kopa, kurā nav neviena elementa). Dažreiz to apzīmē arī ar $\ \Lambda$ ;
$\mathbb{P}$ - visu pirmskaitļu kopa;

[izmainīt šo sadaļu] Kopu kardinalitāte

Ir kopas, kuru elementu skaits ir galīgs (galīgas kopas), piemēram, kopā ${1,2,3}$ ir trīs elementi. Ir kopas, kuru elementu skaits ir bezgalīgs (bezgalīgas kopas), piemēram, veselo skaitļu kopa $\mathbb{Z}$ ir bezgalīga. Eksistē kopa, kurā nav neviens elements (tukšā kopa).

Īpašības:

Divu galīgu kopu apvienojums ir galīga kopa.
Galīgas un bezgalīgas kopas apvienojums ir bezgalīga kopa.

[izmainīt šo sadaļu] Kopu paradoksi

Saistībā ar kopām ir atklāti paradoksi, kas liek savādāk paskatīties uz matemātiku un pārdomāt dažas aksiomas. Piemēram, ir šāds jautājums: vai eksistē visu kopu kopa? Ja tā eksistētu, tad to apzīmējot ar $A$ , iegūtu, ka $A \in A$ , jo $A$ satur visas kopas, tāpēc arī pašu $A$ . Tomēr, runājot par kopām, pieņem, ka jebkura kopa nesatur sevi kā elementu. Tāpēc secinam, ka šāda kopa $A$ neeksistē. Līdzīgi var pierādīt, ka neeksistē visu tādu kopu kopa, kas nesatur sevi kā elementu. Tas savukārt rāda, ka ne vienmēr visi tie objekti, kuriem piemīt kāda īpašība $P$ , veido kopu.