Aibė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Aibė – viena pagrindinių sąvokų matematikoje. Aibių teorija, mokslo sritis atsiradusi tik XIX a. gale, dabar yra viena reikšmingiausių matematikos dalių, pradedama mokyti dar pagrindinėje mokykloje.

Turinys 1 Terminai 1.1 Poaibis 1.2 Sąjunga 1.3 Sankirta 1.4 Skirtumas

[taisyti] Terminai

Aibė – objektų, laikomų visuma, rinkinys. Aibės objektai vadinami elementais ar nariais. Paprastai aibės žymimos didžiosiomis raidėmis (A, B, C, ..). Dvi aibės yra lygios (A = B), jei abiejų aibių elementai sutampa.

Aibės, kuriuos turi pasikartojančių elementų vadinamos multiaibėmis.

Aibės dažniausiai apibūdinamos žodžiais arba formaliai:

A = {1, 2, 3}

B = {raudona, balta, mėlyna, žalia}

Aibių apibūdinimas nebūtinai turi sutapti, kad aibės būtų lygios. Elementų eilės tvarka ar pasikartojimas taip pat neturi įtakos, t.y. {2, 4}, {4, 2} ir {2, 2, 4, 2} yra identiškos aibės, nes turi lygiai tokius pat elementus.

Jei aibė neturi nei vieno elemento, ji vadinama tuščia aibe ir žymima ø.

Aibė taip pat gali turėti begalinį elementų skaičių – pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibė.

[taisyti] Poaibis

Jei kiekvienas aibės A elementas yra ir aibės B elementas, aibė A yra aibės B poaibis ir tai žymima . Jei dar tenkinama sąlyga, kad aibė A nelygi B, tai griežtasis poaibis ir žymima . Šiuo atveju B yra aibės A viršaibis.

Pavyzdžiai:

• Visų vyrų aibė yra griežtas visų žmonių aibės poaibis
• 
• 

Taip pat natūrali išvada, kad tuščia aibė yra bet kurios kitos aibės poaibis ir kad kiekviena aibė yra savo pačios poaibis:

• 
• 

[taisyti] Sąjunga

Aibių sąjunga tai lyg sudėtis – aibių sąjungos rezultatas yra aibė, kurioje yra visi jungiamųjų aibių elementai. Aibių A ir B sąjunga žymima A ∪ B.

Pavyzdžiai:

• {1, 2} ∪ {raudona, balta} = {1, 2, raudona, balta}
• {1, 2, žalia} ∪ {raudona, balta, žalia} = {1, 2, raudona, balta, žalia}
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sąjungos savybės:

• A ∪ B   =   B ∪ A
• A    A ∪ B
• A ∪ A   =  A
• A ∪ ø   =  A

[taisyti] Sankirta

Aibių A ir B sankirta yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių tiek A, tiek ir B aibėje. Sankirta žymima A ∩ B. Jei A ∩ B  =  ø, tai A ir B yra nesikertančios aibės.

Pavyzdžiai:

• {1, 2} ∩ {raudona, raudona} = ø
• {1, 2, žalia} ∩ {raudona, raudona, žalia} = {žalia}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sankirtos savybės:

• A ∩ B   =   B ∩ A
• A ∩ B      A
• A ∩ A   =   A
• A ∩ ø   =   ø

[taisyti] Skirtumas

Aibių A ir B skirtumas yra aibė, kurią sudaro elemantai, esantys aibėje A, bet nesantys aibėje B. Aibių skirtumas žymimas A \ B.