Braket-jelölés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A braket-jelölés a kvantumállapotok bevett jelölése a kvantummechanikában. Kompakt jelölés, ahol a $|\psi\rangle$ ket (vektor) egy állapotvektort (oszlopvektort), a $\langle\phi|$ bra (vektor) pedig egy transzponált konjugált állapotvektort (sorvektort) jelöl. A nevét a jelölés az angol „bracket” („zárójel”) szóról kapta, ahol a „bra” és „ket” betűcsoportok úgy zárják közbe a „c” betűt, mint a bra és ket vektorok egy C operátort. Az állapotvektorok belső szorzata $\langle\phi|\psi\rangle$ alakban írandó. A jelölést Paul Dirac vezette be, és Dirac-jelölésként is ismert. A matematika és a kvantumszámítás is használja.

[szerkesztés] Bra és ket

A kvantummechanikában egy fizikai rendszert egy komplex H Hilbert-tér vektorával azonosítjuk. Mindegyik vektort „ket”-nek, vagy „ket vektornak” hívjuk és így írjuk:

$|\psi\rangle$

Minden ket vektornak van egy „bra” duálisa:

$\langle\psi|$

Ez egy folytonos lineáris functional H-ból C-be (komplex számok), amit a következő kifejzés definiál:

$\langle\psi|\rho\rangle = \bigg( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \bigg)$ minden $|\rho\rangle$ ket-re

ahol ( , ) a Hilbert-tér belső szorzata. A bra egyszerűen a ket transzponált konjugáltja (vagy hermitikus konjugáltja). A jelölést a Riesz-féle reprezentációtétel igazolja, ami kijelenti, hogy a Hilbert-tér és duális tere izometrikusan izomorf. Így minden bra pontosan egy ket-nek felel meg és megfordítva. Ez nem mindig van így, csak addig, amíg a definiáló függvények négyzetesen integrálhatók (ld. pl. Cohen-Tannoudji). Tekintsünk egy continuum bázist és egy Dirac-féle delta-függvényt, vagy egy szinusz vagy koszinusz függvényt, mint hullámfüggvényt. Az ilyen függvények nem négyzetesen integrálhatók, ezért az adódik, hogy vannak olyan bra-k, amiknek nincs megfelő ket-jük. Ez nem futtatja zátonyra kvantummechanikát, mert minden fizikailag realisztikus hullámfüggvény négyzetesen integrálható.

A braket-jelölés akkor is használható, ha a vektortér nem Hilbert-tér. Bármely B Banach-térben a vektorok jelölhetők kettel és a folytonos lineáris funkcionálok braval. Bármely nemtopologikus vektortér vektorait is jelölhetjük kettel és a lineáris funkcionálokat bra-val. Ebben az általános esetben a braketnek nincs belső szorzat jelentése, mivel a Riesz-féle reprezentációtétel nem alkalmazható.

A $\langle\phi|$ bra és a $|\psi\rangle$ ket szorzata, amit bra-ket-nek hívhatunk:

$\langle\phi|\psi\rangle$ .

egy komplex szám. A kvantummechanikában ez annak a valószínűségi amplitúdója, hogy a $\psi\!$ állapot a $\phi.\!$ állapotba essen a mérés során.

[szerkesztés] Tulajdonságok

Mivel minden ket egy vektor egy komplex Hilber-térben és minden bra-ket egy belső szorzat, a következő műveletek lehetségesek:

$c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle$ duálisa $c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|$

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$

ahol $c_1, c_2 \,$ komplex számok.

[szerkesztés] Lineáris operátorok

Ha A : H → H lineáris operátor, akkor A-t egy $|\psi\rangle$ ket-re alkalmazva a $(A|\psi\rangle)$ ket-et kapjuk. A lineáris operátorok mindenütt jelen vannak a kvantummechanikában, pl. a fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok, a szimmetriatranszformációkat unitér operátorok képviselik.

Az operátorokat tekinthetjük úgy is, mint ami jobbról a bra-ra hat. A $(\langle\phi|A)$ konstrukció egy bra, ami egy lineáris funkcionál H-n a következő szabály szerint:

$\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg)$ .

Ezt a kifejezést szokásosan így írjuk:

$\langle\phi|A|\psi\rangle.$

H-n komponálhatunk operátort a külső szorzattal:

$|\phi\rang \lang \psi|$

ami a $|\rho\rangle$ ket-et leképezi a $|\phi\rangle\langle\psi|\rho\rangle$ ket-re (ahol $\langle\psi|\rho\rangle$ egy skalár). A külső szorzatot pl. projekciós operátorok megkonstruálására használhatjuk. Legyen $|\psi\rangle$ 1-es normájú ket. Az általa kifeszített altérbe vetítő operátor ekkor:

$|\psi\rangle\langle\psi|.$

[szerkesztés] Összetett bra és ket

A V és W Hilbert-terekből tenzorszorzattal képezhetünk egy harmadikat: $V \otimes W$ . A kvantummechanikában ha egy rendszer egy V és W által leírt alrendszerből áll, akkor a teljes rendszert a tenzorszorzat írja le – kivéve ha az alrendszerek azonos részecskék, mert ekkor a helyzet egy kicsit bonyolultabb.

Ha $|\psi\rangle$ egy ket V-ben és $|\phi\rangle$ egy ket W-ben, akkor a tenzorszorzatuk egy ket $V \otimes W$ -ben, amit többféleképpen írhatunk:

[szerkesztés] Reprezentációk braket-jelöléssel

A kvantummechanikában gyakran kényelmesebb a vektoroknak egy bázisra vett vetületeivel dolgozni, mint magukkal a vektorokkal. Az ok, hogy az utóbbiak egyszerűen komplex számok, amiket parciális differenciálegyenletekben használhatunk (pl. a Schrödinger-egyenlet helykoordináta-bázison). Ez az eljárás nagyon hasonlít a koordinátavektorok használatához a lineáris algebrában.

Pl. egy nulla spinű részecske Hilbert-terét az $\lbrace|\mathbf{x}\rangle\rbrace$ helybázis feszíti ki, ahol x befutja az összes helyvektort. Kiindulva bármely $|\psi\rangle$ ket-ből ezen a Hilbert-téren definiálhatunk egy komplex skalár függvényt, a hullámfüggvényt: