Spazio completo

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In matematica, uno spazio metrico completo è un insieme che "non ha buchi". Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali non è completo, perché è pieno di buchi: "manca" ad esempio il numero reale √2.

Il numero √2 è un "buco", perché è possibile avvicinarsi arbitrariamente ad esso tramite numeri razionali, ma esso stesso non è razionale. Il concetto generale di "buco" è espresso formalmente tramite nozioni di calcolo infinitesimale, quali il limite di una successione e la successione di Cauchy.

Uno spazio non completo è generalmente contenuto in uno spazio completo più grande, che può essere costruito a partire dal primo tramite un'operazione di completamento: ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è contenuto nell'insieme dei numeri reali, che si può ottenere dai numeri razionali grazie ad un'operazione di completamento.

Indice

1 Definizione
2 Esempi
- 2.1 Razionali e reali
- 2.2 Spazi normati a dimensione infinita
3 Proprietà
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

Uno spazio metrico è completo se ogni successione fondamentale ${x n}$ (detta anche successione di Cauchy) converge ad un elemento dello spazio.

Più dettagliatamente, una successione ${x n}$ è fondamentale o di Cauchy se per ogni $ε > 0$ esiste un numero $N > 0$ tale che:

d (x n, x m) < ε

per ogni $n, m > N (ε)$ .

In uno spazio metrico $X$ , ogni successione convergente è fondamentale. Se vale anche l'opposto, tale spazio metrico è appunto completo.

[modifica] Esempi

[modifica] Razionali e reali

Lo spazio metrico Q dei numeri razionali con la metrica standard data dal valore assoluto, non è completo. Infatti, scrivendo le troncature di √2

$x_1=1 \ x_2=1,4\ x_3= 1,41\ x_4=1,414\ x_5=1,4142\ x_6=1,41421 \ldots$

si costruisce una successione di Cauchy di numeri razionali che converge a √2, che però razionale non è.

Gli spazi metrici R dei numeri reali e C dei numeri complessi con la metrica data dal valore assoluto sono invece completi.

Gli insiemi Rⁿ con la norma euclidea standard sono spazi completi. Più generalmente, un qualsiasi sottoinsieme chiuso dello spazio euclideo Rⁿ è completo.

[modifica] Spazi normati a dimensione infinita

La completezza è una proprietà importante nell'ambito degli spazi normati a dimensione infinita. Non tutti gli spazi normati sono completi: quelli che lo sono si dicono spazi di Banach.

Le funzioni continue definite su un intervallo chiuso $[a, b]$ formano uno spazio metrico $C ([a, b])$ con la metrica

$~d(f,g) = \max_x (f(x),g(x))$

Questo spazio metrico è completo.
È completo lo spazio l² costituito dalle successioni ${x n}$ che verificano la condizione

$\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{2} < \infty$

e dotato della metrica il cui quadrato è definito come

$d^2 (x^i , x^j) = \sum_{k=1}^{\infty} ( x_{k}^{i} , x_{k}^{j})^2$

[modifica] Proprietà

Un sottospazio di uno spazio metrico completo X, con la metrica indotta, è completo se e solo se è sottoinsieme chiuso dello spazio metrico X.
Il prodotto di spazi metrici completi è completo.
Dalle due proprietà precedenti segue che un sottoinsieme di $\R^n$ è completo se e solo se è chiuso.