Convergenza

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In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito.

Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.

Indice

1 Convergenza di una successione in una dimensione
2 Convergenza delle serie numeriche
3 Convergenza di una funzione di variabile reale
- 3.1 Teorema della convergenza
4 Convergenza delle successioni e serie di funzioni
5 Convergenza di variabili casuali
6 Voci correlate

[modifica] Convergenza di una successione in una dimensione

Per approfondire, vedi la voce Limite di una successione.

Data una successione numerica ${a n}$ di numeri reali, la convergenza di questa successione implica che, dato un intorno, per $n \to \infty$ , da un certo indice in poi, tutti i termini della successione si trovino entro questo intorno. Matematicamente si esprime:

Data ${a n}$ , si dice che essa converge al numero a per $n \to \infty$ , e si scrive $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ , se:

$\forall \epsilon >0$ , esiste un indice

N (ε) > 0

, in generale dipendente da

ε

, tale che la $\|a_{n} - a\| < \epsilon$ , per

n > N (ε)

Questo garantisce che tutti i termini della successione siano contenuti nell'intorno $a - ε < a n < a + ε$ ; dunque una successione convergente è necessariamente limitata.

[modifica] Convergenza delle serie numeriche

Per approfondire, vedi le voci Serie e Criteri di convergenza.

La convergenza di una serie si basa sul criterio di convergenza di Cauchy applicato alla successione delle somme parziali. Data la serie $\sum_{i=0}^{\infty} a_i$ essa è convergente se:

$\forall \epsilon >0$ esiste un indice

N (ε) > 0

tale che $\forall r,p > N(\epsilon)$ vale:

$\| \sum_{i=r+1}^{p} a_{i} \| < \epsilon$

Esiste una convengenza assoluta (cioè della serie con termini positivi), cioè se la serie:

$\sum_{i=0}^{\infty} \|a_i\|$

converge, allora converge anche la serie originaria.

Nel caso di serie a segno alterno vale il criterio di Leibniz: se la serie $\sum_{i=0}^{\infty} a_i$ è a segni alterni e la sua serie assoluta $\sum_{i=0}^{\infty} \| a_i \|$ tende monotonicamente a zero, allora anche la serie originaria converge.

In definitiva la convergenza della serie implica l'esistenza di un limite a cui la somma parziale della serie tende per $i \to \infty$ . In generale la convergenza delle serie si effettua con opportuni criteri come quello del confronto, della radice e del rapporto.

[modifica] Convergenza di una funzione di variabile reale

Per approfondire, vedi le voci Limite di una funzione e Limite di funzioni a più variabili.

Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni $f (x)$ :

Data una successione di numeri reali ${x n}$ , che converge ad un certo limite $ξ$ per $n \to \infty$ , significa anche che:

$\lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = \lim_{x \to \xi} f(x) = \eta$ ,

e matematicamente si esprime:

$\forall \epsilon >0$ , esiste un intorno

δ(ε) > 0

, in generale dipendente da

ε

, tale che la $\| f(x) - \eta \| < \epsilon$ , per $\| x - \xi \| < \delta$ .

Questo garantisce che come tutti i termini della successione sono contenuti nell'intorno di $x$ , anche tutti i valori della funzione saranno contenuti in un intorno $η - ε < f (x) < η + ε$ ; dunque ogni funzione convergente è necessariamente limitata. Questo impica anche il concetto di continuità di una funzione.

[modifica] Teorema della convergenza

Suppuniamo di avere una funzione $f (x)$ tale che $f (α) = 0$ con α appartenente ad un certo intervallo $J$ . Possiamo porre
$x = x - g (x) f (x) = φ(x)$ con $g(x)\ne 0 \forall \; x\in J$
Si avrà dunque $φ(α) = α$
Se $\exists \delta >\ 0$ tale che $[α - δ,α + δ] = J$
e se $\exists k \in(0,1)$ tale che $\forall x \in J, |\phi'(x)| \le k$
allora certamente:

se $x_0 \in J$ allora $x i = φ(x i - 1)$ con $i = 1,2,3,...$
$\lim_{i \to \infty}x_i = \alpha$
α è l'unica radice in $J$

Dimostrazione

Premesso che $x_0 \in J$ , che $|x_0 - \alpha| \le \delta$ e che ξ è un opportuno punto dell'intervallo, si ha:

$\alpha| \le |x_0- \alpha|$

Come $x_1 \in (x_0, \alpha)$ si avrà che $x_i \in (x_{i-1}, \alpha)$ per ogni i=1,2,...

$|x_i - \alpha| = |\phi (x_{i-1}) - \phi (\alpha)|= | \phi'(\xi) (x_{i-1}- \alpha)| \le k |x_0- \alpha| \le k^2 |x_{i-2}- \alpha| \le .... \le k^i |x_0- \alpha|$

Poiché $k i$ tende a zero quando i tende ad infinito, la successione converge.

Supponiamo per assurdo che nell'intervallo vi sia β, un'altra radice della funzione e diversa da α. Avremmo:

$|\beta - \alpha|= |\phi (\beta) - \phi(\alpha)|=|\phi(\xi) (\beta - \alpha)| \le k |\beta - \alpha| \le |\beta - \alpha|$

Che $|\beta - \alpha| \le |\beta - \alpha|$ è assurdo, quindi α sarà l'unica radice dell'intervallo.

[modifica] Convergenza delle successioni e serie di funzioni

Per approfondire, vedi le voci Successione di funzioni e Serie di funzioni.

Per le successioni ${f n (x)} n$ e serie di funzioni $\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)$ si enunciano più tipi di convergenza:

convergenza puntuale della successione: se $\lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)$
convergenza uniforme della successione: se $\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_{\infty}=0$ (in norma uniforme)

convergenza puntuale della serie: se la serie numerica $\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x_0)$ converge per ogni $x 0$
convergenza uniforme della serie: se la successione delle somme parziali converge uniformemente
convergenza totale della serie: se esiste una serie numerica $\sum_{n=0}^{\infty} M_n$ convergente tale che $|f_n(x)| \leq M_n$ , per ogni $x$ e $n$

[modifica] Convergenza di variabili casuali

Per approfondire, vedi la voce Convergenza di variabili casuali.

Si dice che una successione di variabili casuali ${X n} n$ converge

in distribuzione, se $\lim_{n \to \infty} F_n(x)=F(x)$ ( $F n$ , $F$ funzioni di ripartizione delle $X n$ e del limite $X$ rispettivamente)
in probabilità, se $\lim_{n \to \infty} P(|X_n-X|<\epsilon)=1$
quasi certamente, se $\lim_{n \to \infty} X_n=X$
in media r-esima, se $E|X_n|^r<\infty$ per ogni $n$ e $\lim_{n \to \infty}E|X_n-X|^r=0$