Teorema della convergenza dominata
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In matematica, il teorema della convergenza dominata fornisce una condizione sufficiente sotto la quale il limite commuta con l'operazione di integrazione.
[modifica] Enunciato
Il teorema afferma che se una successione di funzioni misurabili {fn}n su uno spazio misurabile S converge quasi ovunque, ed è "dominata" (spiegato oltre) da una funzione non negativa 
, allora
Dire che una sequenza è "dominata" da g significa che
per ogni n e quasi per tutti gli x. g sta in in L1 se
[modifica] Dimostrazione
Il teorema si dimostra con il lemma di Fatou.
Visto che f denota il limite q.o. della sequenza fn è misurabile e dominata da g e quindi integrabile.
Dimostriamo ora che:
Osserviamo che:
Dal momento che:
Possiamo usare il lemma Fatou inverso e dire che:
Ma dal momento che:
allora:
e questo ci consente di affermare che:
dimostrando la tesi.
[modifica] Voci correlate
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