Théorème de convergence dominée
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Le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.
Il s'énonce comme suit :
Soient un espace mesuré, et une suite de fonctions de E dans .
Hypothèses :
- Pour tout entier n, fn est mesurable.
- La suite de fonctions converge μ presque partout sur vers une fonction f (qui est donc mesurable).
- (Hypothèse de domination) Il existe une fonction μ intégrable telle que : pour tout entier n, presque partout.
Conclusions :
La fonction f est μ intégrable, et on a la formule :
c’est-à-dire que la suite (fn) converge vers f au sens de l'espace
De plus on a :
Remarque :
Dans le cas d'une mesure de probabilité la deuxième hypothèse peut être affaiblie en
- La suite de fonctions converge en probabilité vers une fonction mesurable f.
La preuve s'appuie principalement sur le lemme de Fatou. On commence par montrer que f est intégrable. Pour tout ε > 0, pour . Donc pour tout ε. On obtient . Donc f est intégrable.
Pour tout ε > 0, on a
Soit . L'intégrale précédente se décompose en
où pour .
Par le lemme de Fatou, cette dernière intégrale converge vers 0, ce qui permet de conclure à la convergence vers 0 de∫ | | fn − f | dμ. |
E |
[modifier] Exemple d'application
Si , sa transformée de Fourier est continue La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque ; le théorème de convergence dominée permet de voir que est séquentiellement continue, donc continue.