Lemme de Fatou

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Le lemme de Fatou est un important résultat dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il a été prouvé par le mathématicien français Pierre Fatou (1878-1929). Ce lemme traite d'un cas où une propriété de convergence simple d'une suite de fonctions conduit à une information sur la limite de l'intégrale de cette suite.

Il est en général présenté dans une suite de trois résultats : d'abord le théorème de convergence monotone, qui sert ensuite à démontrer le lemme de Fatou, puis celui-ci est utilisé pour démontrer le théorème de convergence dominée.

Ce lemme porte parfois le nom de théorème de Fatou-Lebesgue.

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
3 Voir aussi
- 3.1 Liens internes
- 3.2 Lien externes

[modifier] Énoncé

Soient $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré et $A\in\mathcal{A}$ une partie mesurable de $E$ . On considère $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de A à valeur dans l'ensemble des réels positifs $\R^+$ . Si pour tout $x\in A$

$f(x)=\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{i\geq n}f_i(x)$

alors la fonction $f:A\longrightarrow\overline{\R^+}=[0,+\infty]$ est mesurable et vérifie :

$\int_A f\;d\mu\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}\int_A f_n\;d\mu$ .

[modifier] Démonstration

Définissons la suite de fonctions $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $\forall x\in A,\quad g_n(x)=\inf_{i\geq n}f_i(x)$ .

Les fonctions $g n$ sont mesurables car définies en tant qu'infimmum d'une famille de fonctions mesurables. Par construction $g_i\leq g_j$ si $i\leq j$ donc la suite $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ satisfait les hypothèses du théorème de convergence monotone (car elle est positive et croissante), et donc: