Lemma von Fatou

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Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

[Bearbeiten] Mathematische Formulierung

Sei (S,Σ,μ) ein Maßraum. Für jede Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen gilt

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion g mit gibt:

[Bearbeiten] Beispiele für strikte Ungleichung

Der Grundraum S sei jeweils versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

• Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei S = [0,1] das Einheitsintervall. Definiere f_n(x) = n1_{(0,1 / n)}(x) für alle und , wobei 1_{(0,1 / n)} die Indikatorfunktion des Intervalls (0,1 / n) bezeichne.
• Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei S die Menge der reellen Zahlen. Definiere für alle und .

Diese Folgen konvergieren auf S punktweise (bzw. gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral null), jedes f_n hat aber Integral eins.

[Bearbeiten] Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Satz von der monotonen Konvergenz