הלמה של פטו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, הלמה של פטו מקשרת באמצעות אי שוויון את הגבול התחתון של האינטגרל (על פי לבג) של סדרת פונקציות ובין האינטגרל של הגבול התחתון של אותה סדרה. בכך היא מאפשרת לקבל מידע מתכונות ההתכנסות סדרת הפונקציות על תכונות ההתכנסות של סדרת האינטגרלים שלהן. הלמה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר פטו.

שימוש מיידי של הלמה הוא בהוכחת משפט ההתכנסות הנשלטת.

[עריכה] ניסוח פורמלי

אם $\ f_1,f_2,\dots$ היא סדרה של פונקציות אי שליליות ומדידות, אז מתקיים אי השוויון הבא:

$\int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int f_n$

[עריכה] הוכחה

הוכחת הלמה מסתמכת על משפט ההתכנסות המונוטונית, העוסק בסדרה עולה פונקציות מדידות ואי שליליות. לצורך ההוכחה מגדירים סדרה חדשה של פונקציות, $\ g_1,g_2,\dots$ באמצעות הסדרה המקורית, כך שהסדרה החדשה עונה על תנאי משפט ההתכנסות המונוטונית.

אם כן, מגדירים $\ g_n=\inf\left\{f_n,f_{n+1},f_{n+2},\dots\right\}$ .

מיד ברור כי זוהי סדרה עולה של פונקציות (שכן האינפימום נלקח על קבוצה הולכת וקטנה). מכיוון שזו סדרה עולה, קיים לה גבול (אם מתירים לפונקציות לקבל גם אינסוף בתור ערך). כמו כן מתקיימות שתי התכונות הבאות:

$\ g_n\le f_n$ (ולכן גם $\ \int g_n\le \int f_n$ )
$\ \lim_{n\to\infty}g_n=\liminf_{n\to\infty}f_n$

באמצעות שתי תכונות אלו ומשפט ההתכנסות המונוטונית מקבלים:

$\ \int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n=\int \lim_{n\to\infty}g_n=\lim_{n\to\infty}\int g_n=\liminf_{n\to\infty}\int g_n\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n$

קטגוריה: תורת המידה

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

הלמה של פטו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] ניסוח פורמלי

[עריכה] הוכחה

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות