Funzioni ellittiche di Jacobi

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In matematica, le funzioni ellittiche di Jacobi costituiscono una famiglia di funzioni ellittiche basilari che sono state introdotte dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi intorno al 1830. Esse e le funzioni theta (queste con ruoli ausiliari) hanno importanza storica e presentano molte caratteristiche che contribuiscono a far emergere una importante struttura; inoltre hanno diretta rilevanza per talune applicazioni, ad esempio per le equazioni del pendolo. Esse inoltre presentano utili analogie con le funzioni trigonometriche, come rivelato dalla scelta della notazione sn per una funzione associabile alla funzione sin. Oggi sappiamo che le funzioni ellittiche di Jacobi non sono gli strumenti più semplici per lo sviluppo di una teoria generale, come si vede anche nell'attuale articolo: strumenti migliori sono le funzioni ellittiche di Weierstrass. Le funzioni di Jacobi presentano comunque vari motivi di interesse.

[modifica] Introduzione

Costruzione del rettangolo ausiliario

Ci sono dodici funzioni ellittiche Jacobiane. Ognuna di queste corrisponde a una freccia tracciata da un angolo a un altro di uno stesso rettangolo. Gli angoli del rettangolo vengono chiamati, per convenzione, s, c, d, n. Il rettangolo è inteso giacente sul piano complesso, con s nell'origine, c corrisponde al punto K sull'asse reale, d corrisponde al punto K +iK' and n è sul punto iK' sull'asse immaginario. I numeri K e K' sono detti i quarti di periodo. Le dodici funzioni ellittiche di Jacobi sono quindi pq, dove p e q denotano una delle lettere s,c,d,n.

Le funzioni ellittiche Jacobiane sono quindi le uniche doppiamente periodiche e sono funzioni meromorfe (v. funzione meromorfa) che soddisfano le seguenti tre proprietà:

hanno uno zero semplice nel vertice p e un polo semplice nel vertice q.
la distanza da p a q è uguale a metà del periodo della funzione pq u; in altre parole, la funzione pq u è periodica nella direzione di pq, con un periodo doppio rispetto alla distanza tra p e q. Inoltre, pq u è periodica anche nelle altre due direzioni, con un periodo tale che la distanza tra p e uno degli altri vertici è pari a un quarto del periodo.
se la funzione pq u viene espansa rispetto a u in uno dei vertici, il primo termine dell'espansione ha coefficiente 1. In altre parole, il primo termine dell'espansione of pq u nel vertice p è u; il primo termine dell'espansione nel vertice q è 1/u e, infine, il primo termine dell'espansione negli altri due vertici è 1.

Le funzioni ellittiche Jacobiane sono quindi le uniche funzioni ellittiche che soddisfano le suddette proprietà.

Più in generale, non è necessario imporre un rettangolo; un parallelogramma è sufficiente. Comunque, se K e iK' venogno mantenuti rispettivamente sull'asse reale ed immaginario allora le funzioni ellittiche di Jacobi pq u assumono valori reali quando u è reale.