雅可比橢圓函數

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在數學中，雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。

[编辑] 介紹

雅可比矩形

雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 s, c, d, n。

視此矩形為複數平面的一部分，s 是原點，c 是實軸上的一點 K，d 是 K+iK，n 是 iK。K 與 iK 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 sc, sd, sn, cs, cd, cn, ds, dc, dn, ns, nc, nd。為方便起見，取變數 p, q 意指矩形上的任一對頂點，則函數 pq 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

p 是單零點，q 是單極點。
pq 在 $\vec{pq}$ 方向的週期等於 p, q 距離的兩倍。對另兩個從 p 出發的方向，pq 亦滿足同樣性質。
pq 在頂點 p, q 的展式首項係數均為一。

表列如次：

函數	週期	零點	極點
$\mathrm{sn}\,(z; k)$	$4\, K,\ 2 \,\mathrm{i} K'$	$2m K + 2 \,n\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$
$\mathrm{cn}\,(z; k)$	$4\, K,\ 2 \,(K + \mathrm{i} K')$	$(2m+1) \,K + 2\,n\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$
$\mathrm{dn}\,(z; k)$	$2\, K,\ 4\,\mathrm{i} K'$	$(2\,m + 1)\, K + 2 \,(n+1)\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$
n 與 m 是整數

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

[编辑] 表為橢圓積分之逆

以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分之逆。設

$u=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}.$

橢圓函數 sn u 定義為

$\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,$

而 cn u 定義為

$\operatorname {cn}\; u = \cos \phi$

同理，

$\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,$

這裡的 $m \in \mathbb{R}$ 是自由變元，通常取 $0 \leq m \leq 1$ 。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

[编辑] 加法定理

$\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,$

$\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,$

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 $\mathbb{P}^3(\mathbb{C})$ 中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

$\operatorname{cn}(x+y) = {\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) - \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}},$

$\operatorname{sn}(x+y) = {\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) + \operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},$

$\operatorname{dn}(x+y) = {\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) - k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.$

[编辑] 文獻

Abramowitz, Milton，Stegun, Irene A. eds.（1972）．Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables．New York：Dover．ISBN 0-486-61272-4．見第16章

Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3