椭圆曲线
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- y2 = x3 + a x + b，
其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。
若y2 = P(x)，其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。
[编辑] 群
定義無窮遠點0為橢圓曲線E上的一點。定義 + 運算子：取E上的兩點P,Q，若兩者相異，P + Q表示穿過P和Q的弦和橢圓曲線相交的第三點，再經x軸反射的鏡像點；若兩者是同一點，P+P=2P表示以P為切點和橢圓曲線相交的點在經x軸反射的鏡像點。若P和Q的弦與y軸平行，P+Q=0（無限遠點）。+定義了一個E上的交換群，這個群以0為單位元。
特別地，所有有理點組成了E的子群。
上面的群可以用代數方式定義。給定域K（其中K的特徵值非2或者3）上的曲線E:y2 = x3 − px − q，及非無窮遠點
。先假設
，設
（因K是域，s有定義）。定義R = P + Q：
- xR = s2 − xP − xQ
- yR = − yP + s(xP − xR)
若xP = xQ：
- 若yP = − yQ，P + Q = 0。
- 若yP = yQ，R = 2P，其值為：
- xR = s2 − 2xP
- yR = − yP + s(xP − xR)
[编辑] 參考文獻
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