Formula di Eulero

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Nota disambigua – Se stai cercando la formula di Eulero per i poliedri, vedi relazione di Eulero.

Interpretazione geometrica della formula di Eulero sul piano complesso

La formula di Eulero, da Leonhard Euler, è una formula matematica nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. (L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero).

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale x,

$e^{ix} = \cos x + i\;\mathrm{sen}\,x$

dove

e è la base dei logaritmi naturali

i è l'unità immaginaria

sen e cos sono funzioni trigonometriche.

Indice

1 Cenno storico
2 Note
3 Dimostrazioni
- 3.1 Usando le proprietà delle funzioni analitiche
- 3.2 Usando l'analisi
  - 3.2.1 Dimostrazione 1
  - 3.2.2 Dimostrazione 2
4 Collegamenti esterni

[modifica] Cenno storico

La formula di Eulero è stata provata (in una forma poco esplicita) per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'intepretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo (vedi Caspar Wessel).

[modifica] Note

Questa formula può essere interpretata dicendo che la funzione e^ix traccia un cerchio unitario nel piano complesso con x che varia nell'insieme dei numeri reali. Qui x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti. La formula è valida solo se seno e coseno prendono i loro argomenti in radianti invece che in gradi.

La dimostrazione più diffusa è basata sull'espansione in serie di Taylor della funzione esponenziale e^z (dove z è un numero complesso).

La formula mostra una forte connessione fra l'analisi e la trigonometria. È usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari e permettere la definizione del logaritmo per argomenti complessi. Usando le proprietà esponenziali

$e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}$

$(e^a)^b = e^{a b} \,$

(che sono valide per tutti i numeri complessi a e b), si possono derivare facilmente da esse molte identità trigonometriche come pure la formula di de Moivre. La formula di Eulero permette anche di intepretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\mathrm{sen}\,x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

Queste formule possono anche essere usate come definizione delle funzioni trigonometriche per agomenti complessi x. Le due equazioni riportate sopra possono essere derivate sommando o sottraendo le seguenti formule di Eulero:

$e^{ix} = \cos x + i \mathrm{sen}\,x \;$

$e^{-ix} = \cos x - i \mathrm{sen}\,x \;$

e risolvendo le equazioni ottenute sia per il seno sia per il coseno.

Le formule scritte sopra possono anche essere usate per mettere in relazione le funzioni iperboliche con le usuali funzioni trigonometriche.

Nelle equazioni differenziali, la funzione e^ix è spesso usata per semplificare le derivazioni, anche se il risultato finale è una funzione reale che coinvolge seno e coseno.

Nell'ingegneria elettrica e in altri campi, segnali che variano periodicamente nel tempo sono spesso descritti come combinazione di funzioni seno e coseno (vedi analisi di Fourier), e questi sono espressi più facilmente come parte reale di una funzione esponenziale di esponente immaginario, usando la formula di Eulero.

È da notare che la formula di Eulero dà origine ad un'equazione considerata tra le più affascinanti della matematica (nota come identità di Eulero), in quanto mette in relazione tra loro i cinque numeri più importanti ed utilizzati:

$e^{i\pi}+1=0 \;$

[modifica] Dimostrazioni

[modifica] Usando le proprietà delle funzioni analitiche

Ecco una dimostrazione della formula di Eulero usando lo sviluppo in serie delle funzioni analitiche seno coseno ed esponenziale. Ricordiamo le proprietà fondamentali delle potenze di i:

$i^0=1 \,$

$i^1=i \,$

$i^2=-1 \,$

$i^3=-i \,$

$i^4=1 \,$

e così via. Le funzioni complesse e^z, cos(z) e sen(z) sono definite in C come il limite uniforme delle seguenti serie di potenze:

$e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots$

$\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots$

$\mathrm{sen}\,z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots$

Osserviamo che per z reale queste coincidono con l'usuale espansione in Serie di Taylor delle relative funzioni reali di variabile reale.

Sostituendo z con iz otteniamo, riordinando la serie (il che è giustificato essendo la convergenza assoluta)

$e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots$

$= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots$

$= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)$

$= \cos (z) + i\mathrm{sen}\,(z) \,$

Scegliendo z = x reale si ottiene l'identità così come era stata originariamente scoperta da Eulero.

Come volevasi dimostrare.

[modifica] Usando l'analisi

[modifica] Dimostrazione 1

Sappiamo che per $x \in \R$ l'esponenziale $e x$ può essere definito come il limite della successione:

$e^x = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n$

Dimostriamo ora che per $z = x + i y$ risulta:

$\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{{x + iy}}{n}} \right)^n = e^x \left( {\cos y + i\mathrm{sen}\,y} \right)$

Pertanto sarà naturale porre:

$e^z = e^x \left( {\cos y + i\mathrm{sen}\,y} \right)$

Dapprima scriviamo la successione in forma trigonometrica ponendo:

$\left( {1 + \frac{{x + iy}}{n}} \right)^n = \left[ {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right) +i \frac{y}{n}} \right]^n$

e calcolando poi il modulo $R$ e l'argomento $φ$ del termine tra parentesi quadre:

$R = \sqrt {\left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^2 + \left( {\frac{y} {n}} \right)^2 };$

$\varphi = arctg \frac{{\frac{y} {n}}} {{1 + \frac{x} {n}}} = arctg\frac{y} {{n + x}}$

Utilizzando la Formula di De Moivre possiamo quindi scrivere:

$\left( {1 + \frac{z}{n}} \right)^n = \left[ {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^2 + \left( {\frac{y}{n}} \right)^2 } \right]^{\frac{n}{2}} \cdot \left[ {\cos \left( {n \cdot arctg \frac{y} {{n + x}}} \right) + i\mathrm{sen} \left( {n \cdot arctg \frac{y}{{n + x}}} \right)} \right] =$

$= R^n \left[ {\cos \left( {n\varphi } \right) + i\mathrm{sen} \left( {n\varphi } \right)} \right]$

Calcoliamo ora il limite del modulo e dell'argomento per $n \to \infty$ . Dato che:

$R^n = \left[ {\left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^2 + \left( {\frac{y} {n}} \right)^2 } \right]^{\frac{n} {2}} = \left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^n \cdot \left[ {1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\frac{n} {2}}$

inoltre:

$\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n = e^x$

ed essendo:

$\left[ {1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\frac{n} {2}} = \left\{ {\left[ {1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\left( {\frac{{n + x}} {y}} \right)^2 } } \right\}^{\frac{{ny^2 }} {{2\left( {n + x} \right)^2 }}}$

con:

$\lim \limits_{n \to \infty } \left[ {1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\left( {\frac{{n + x}} {y}} \right)^2 } = e$

$\lim \limits_{n \to \infty } \frac{{ny^2 }} {{2\left( {n + x} \right)^2 }} = 0$

risulta:

$\lim \limits_{n \to \infty } R^n = e^x$

Per il calcolo del limite dell'argomento si usa invece la Regola di L'Hôpital:

$\lim \limits_{n \to \infty } n\varphi = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {n \cdot arctg \frac{y} {{n + x}}} \right) = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{arctg\frac{y} {{n + x}}}} {{\frac{1} {n}}}} \right) = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1} {{1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 }} \cdot \frac{{ - y}} {{\left( {n + x} \right)^2 }}}} {{ - \frac{1} {{n^2 }}}} =$

$= \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{yn^2 }} {{\left( {n + x} \right)^2 + y^2 }} = y \cdot \lim \limits_{n \to \infty } \frac{1} {{\left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^2 + \left( {\frac{y} {n}} \right)^2 }} = y \cdot 1 = y$

Mettendo tutto insieme resta così provato che:

$\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{{z}}{n}} \right)^n = e^x \left( {\cos y + i\mathrm{sen}\,y} \right)=e^xe^{iy}=e^{x+iy}=e^z$

C.V.D.

[modifica] Dimostrazione 2

Definiamo una funzione $f$ come

$f(x) = \frac{\cos x+i\mathrm{sen}\,x}{e^{ix}}.$

Questo è ammesso in quanto il modulo dell'esponenziale al denominatore è

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1$

il che implica che $e i x$ è sempre diverso da zero.

La derivata di $f$ è, secondo la regola del quoziente:

$\begin{matrix} f'(x)& = & \displaystyle\frac{(-\mathrm{sen}\,x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\mathrm{sen}\,x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\[1em] & = & \displaystyle\frac{-\mathrm{sen}\,x\cdot e^{ix}-i^2\mathrm{sen}\,x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\[1em] & = & 0.\end{matrix}$

Pertanto $f$ deve essere una funzione costante, quindi dalla seguente relazione

$f(0) = \frac{\cos 0+i\mathrm{sen}\,0}{e^0} = 1$

vediamo che tale costante deve essere uguale a 1. Ciò significa che il numeratore ed il denominatore nella definizione di $f$ devono essere uguali per ogni $x$ , ovvero deve valere la Formula di Eulero.

C.V.D.

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) Euler and his beautiful and extraordinary formula di Antonio Gutierrez da Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
(EN) Euler's Formula - Puzzle: 55 pieces in a six star style of piece di Antonio Gutierrez da Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
(EN) Detailed Proof of Euler's Relation di Craig Lewis.
(IT) La formula di Eulero di Flavio Cimolin.

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[modifica] Dimostrazioni

[modifica] Usando le proprietà delle funzioni analitiche

[modifica] Usando l'analisi

[modifica] Dimostrazione 1

[modifica] Dimostrazione 2

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