Eulers formel
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Eulers formel er oppkalt etter den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler, og sier at for alle reelle tall x, gjelder det at
- .
der
- er den imaginære enheten
- og er trigonometriske funksjoner.
Setter man x=π inn i denne formelen får man også den bemerkelsesverdige Eulers likhet.
[rediger] Bevis
[rediger] Ved bruk av Taylorserier
Dette beviset av Eulers formel bruker Taylorserier i tillegg til de grunnleggende egenskapene til potenser av i:
også videre. Funksjonene ex, cos(x) og sin(x) (forutsatt at x er reell) kan uttrykkes ved deres Taylorutvidelse:
For et komplekst tall z kan vi definere alle funksjonene med seriene ovenfor, ved å erstatte x med z. Dette er mulig fordi konvergensradiusen til alle seriene er uendelig. Vi ser da at
Denne formelen gjelder altså for alle komplekse tall, men setter man z lik et reelt tall x, får man formelen slik Euler oppdaget den.
[rediger] Ved bruk av matematisk analyse
Vi definerer funksjonen f(x) der , som:
Funksjonen er kontunuerlig siden:
som betyr at:
Den deriverte av f(x) er ifølge kvotientregelen:
Dette betyr at f(x) er konstant og vi kan finne f(x) for alle verdier av x ved å regne ut f(0):
Av dette ser vi at