Eulerin lause (funktioteoria)

Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee Eulerin kaavaa kompleksianalyysissa, muut merkitykset sivulla Euler.

Eulerin lause tai Eulerin kaava (nimetty Leonhard Eulerin mukaan) on kompleksianalyysiin liittyvä matemaattinen kaava, joka koskee kompleksilukujen eksponenttifunktion ja trigonometrian välistä yhteyttä.

Eulerin lause kertoo, että mille tahansa reaaliluvulle x pätee:

$e^{ix} = \cos x + i\sin x \,$

Tässä kulma x on radiaaneina.

Sisällysluettelo

1 Historia
2 Huomioitavaa
- 2.1 Geometrinen tulkinta
- 2.2 Eulerin identiteetti
3 Todistus Taylorin sarjan avulla

[muokkaa] Historia

Eulerin lauseen todisti ensimmäisen kerran Roger Cotes vuonna 1714, mutta vasta Leonhard Eulerin lausetta koskeva työ vuonna 1748 toi sen lopullisesti matemaatikkojen tietoisuuteen. Kompleksilukujen esittämistä tasossa ei kuitenkaan 1700-luvulla vielä tunnettu, joten kumpikaan miehistä ei huomannut lauseen geometristä tulkintaa.

[muokkaa] Huomioitavaa

[muokkaa] Geometrinen tulkinta

e^iφ:n piirtämä yksikköympyrä kompleksitasolla.

Eulerin lause voidaan tulkita siten, että funktio e^ix piirtää yksikköympyrän kompleksitasolle, kun x kulkee reaalilukujoukon läpi. Tässä x on kulma, jonka kompleksitason pisteeseen origosta piirretty viiva muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kulmaa mitataan tässä yhteydessä radiaaneina. Eulerin lause pätee ainoastaan, mikäli funktiot sin x ja cos x on määritelty radiaaneille eikä asteille.

Eulerin lause muodostaa vahvan yhteyden analyysin sekä trigonometrian välille. Lausetta käytetään hyväksi kompleksilukujen napakoordinaattiesityksessä, ja se antaa mahdollisuuden logaritmifunktion määrittelyyn kompleksiluvuille.

Eksponenttifunktion laskukaavoista

$e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}$

$(e^a)^b = e^{a b} \,$

voidaan johtaa Eulerin lauseen avulla useita trigonometristen funktioiden lainalaisuuksia. Trigonometriset funktiot voidaan jopa määritellä kompleksilukujen eksponenttifunktion laajennuksina (vertaa hyperbolisten funktioiden kaavoihin):

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

[muokkaa] Eulerin identiteetti

Sijoittamalla

x= $\mathbf{\pi}$

saa Eulerin lause kuuluisan Eulerin identiteetiksi kutsutun muodon

$\mathbf{e^{\pi i} + 1 = 0},$

jota on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi. Se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin ja numerojärjestelmämme perusluvuista luvut 1 ja 0. Siinä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen.

[muokkaa] Todistus Taylorin sarjan avulla

Funktiot e^x, cos(x) ja sin(x) (olettaen, että x on reaalinen) voidaan Taylorin sarjan avulla kirjoittaa:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

Kompleksisille z määritellään vastaavat funktiot Taylorin sarjan avulla korvaten x:t muuttujalla iz. Havaitaan, että

$e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots$

$= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots$

$= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)$