Fórmula de Euler

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Interpretação geométrica da fórmula de Euler.

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação profunda entre as funções trigonométricas e a função exponencial. (A identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:

$e^{ix} = \cos\left (x \right) + i\,\operatorname{sen}\left( x \right)$ ,

em que:

x é um número real;

e é a base do logaritmo natural;

i é a unidade imaginária;

sen e cos são funções trigonométricas.

[editar] Demonstração

Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:

A expansão em série de Taylor de uma função analítica $f (x)$ centrada em $a$ é representada como:

$f(x)=\sum_{n=o}^{\infty}{{C_n}}{(x-a)^n}$

com $| x - a | < R$ , onde

$C_n = \frac{{f^n}(a)}{n!}$

Usando esse conceito de expansão e tomando $f (x) = e x$ em torno de $a = 0$ , teremos:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{{f^n}(0)}{x^n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}= 1+{\frac{x}{1!}}+{\frac{x^2}{2!}}+{\frac{x^3}{3!}}+{...}$

para todo $x$ com intervalo de convergência de $(-\infty,\infty)$

Em $x = 1$ , na equação acima, obtem-se a expressão para o número $e$ , como uma soma de uma série infinita:

$e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 1+{\frac{1}{1!}}+{\frac{1}{2!}}+{\frac{1}{3!}}+{...}$

Se admitirmos a validade de substituirmos $x$ por $i x$ na equação obteremos:

$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} = {\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)^n}\cdot{x^{2n}}}{(2n)!}} + i{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^{n-1}}\cdot{x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}$

A primeira parte da soma da equação anterior ( $e i x$ ) é a expansão do $c o s (x)$ e a segunda é a expansão do $s e n (x)$ em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler