Формула Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья посвящена формуле Эйлера в комплексном анализе. Формула Эйлера в алгебраической топологии рассмотрена в статье Эйлерова характеристика. См. также статью Теорема Эйлера.

Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$ выполнено следующее равенство:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ,

где $e$ — основание натурального логарифма,

i

— мнимая единица.

[править] История

Формула Эйлера впервые была доказана Роджером Котсом (Roger Cotes) в 1714 году в логарифмической форме:

$~\ln(\cos x+i\sin x)=ix$ .

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в 1748 году, построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах, как точках на комплексной плоскости, появилось примерно 50 лет спустя (см. Г. Вессель).

[править] Производные формулы

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $sin$ и $cos$ следующим образом:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ ,

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ .

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть $x = i y$ , тогда:

$\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y$ ,

$\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y$ .

[править] Применение в комплексном анализе

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая запись комплексного числа: $x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}$ .

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: $x=|x|e^{i\varphi}$ , $x^n=|x|^ne^{ni\varphi}$ . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа $x$ в степень $n$ его расстояние до центра возводится в степень $n$ , а угол поворота относительно оси $O X$ увеличивается в $n$ раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых $n$ , но и для действительных. В частности, комплексная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при доказательстве основной теоремы алгебры: «Многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ комплексных корней».

[править] Доказательство

Доказательство формулы Эйлера достаточно тривиально. Разложим функцию $e i x$ в ряд Тейлора по степеням $x$ . Получим:

$e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots) + i(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots)$