Экспонента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения).

Экспонента — функция exp(x) = e^x, где e — основание натуральных логарифмов.

[править] Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например через ряд Тейлора:

или через предел:

Здесь x — любое вещественное, комплексное, p-адическое число или ограниченный линейный оператор.

[править] Свойства

• (e^x)' = e^x, в частности
• Экспонента, помноженная на число, является единственным решением дифференциального уравнения y' = y с граничным условием y(0) = 1. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
• Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
• Основное функциональное свойство экспоненты:

  exp(a + b) = exp(a)exp(b).

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp(ct), где c — некоторая константа.

[править] Экспонента от комплексного аргумента

От комплексного аргумента экспонента определяется следующим образом:

e^z = e^{x + iy} = e^xe^iy = e^x(cosy + isiny) (формула Эйлера)

В частности,

e^iπ = − 1

[править] См. также

• Экспонента комплексного переменного (обобщение)
• Показательная функция

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.