p-адическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

p-ади́ческое число — элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р. Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно p-адической нормы.

$p$ -адические числа были введены Куртом Гензелем (Kurt Hensel) в 1897 году^[1].

Поле $p$ -адических чисел обычно обозначается $\mathbb Q_p$ .

Содержание

1 Метрическое построение
- 1.1 p-адическая норма
- 1.2 Построение
2 Алгебраическое построение
- 2.1 Целые p-адические числа
- 2.2 p-адические числа
3 Свойства
4 Применения
5 Ссылки

[править] Метрическое построение

[править] p-адическая норма

Любое рациональное число $r$ можно представить как $r=p^n\frac ab$ где $a$ и $b$ целые числа, не делящиеся на $p$ , а $n$ — целoe. Тогда $| r | p$ — $p$ -адическая норма $r$ — определяется как $p - n$ . Если $r = 0$ , то $| r | p = 0$ .

[править] Построение

Поле $p$ -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой $d p$ , определённой $p$ -адической нормой: $d p (x, y) = | x - y | p$ . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел.

Норма $| r | p$ продолжается по непрерывности до нормы на $\mathbb Q_p$ .

[править] Алгебраическое построение

[править] Целые p-адические числа

Целым $p$ -адическим числом для произвольного простого $p$ называется бесконечная последовательность $x = {x 1, x 2,...}$ вычетов $x n$ по модулю $p n$ , удовлетворяющих условию $x_n\equiv x_{n+1} \mod{p^n}.$ Сложение и умножение целых $p$ -адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей.

Относительно сложения и умножения целые p-адические числа образуют кольцо, которое содержит кольцо целых чисел, каждое целое число $a$ отождествляется с $p$ -адическим числом $x = {a, a,...}$ .

Кольцо целых $p$ -адических чисел обычно обозначается $\mathbb Z_p$ .

Другими словами, кольцо целых $p$ -адических чисел определяется как проективный предел

$\lim_{\leftarrow}\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z$

колец $\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z$ вычетов по модулю $p n$ относительно естественных проекций $\mathbb Z/{p^{n+1}}\mathbb Z\to\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z$ .

[править] p-адические числа

$p$ -адическим числом называется элемент поля частных $\mathbb Q_p$ кольца $\mathbb Z_p$ целых $p$ -адических чисел. Это поле называется полем $p$ -адических чисел и содержит в себе поле рациональных чисел.

[править] Свойства

Каждый элемент поля $p$ -адических чисел может быть представлен в виде

$\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i$

где

n 0

— некоторое целое число, а

a i

— целые неотрицательные числа, не превосходящие

p - 1

. Такая сумма всегда сходится в метрике

d p

p-адическая норма $| x | p$ удовлетворяет сильному неравенству треугольника

$|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.$

Числа $x\in \mathbb Q_p$ с условием $|x|_p\le 1$ образуют кольцо $\mathbb Z_p$ целых $p$ -адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел $\mathbb Z\subset \mathbb Q$ в норме $| x | p$ .
Числа $x\in \mathbb Q_p$ с условием $| x | p = 1$ образуют мультипликативную группу и называются $p$ -адическими единицами.
Совокупность чисел $x\in \mathbb Q_p$ с условием $| x | p < 1$ является главным идеалом в $\mathbb Z_p$ с образующим элементом $p$ .

метрическое пространство $(\mathbb Z_p,d_p)$ гомеоморфно Канторову множеству, а пространство $(\mathbb Q_p,d_p)$ гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
Для различных $p$ нормы $| x | p$ независимы, а поля $\mathbb Q_p$ неизоморфны.
Для любых элементов r_∞, r₂, r₃, r₅, r₇, …, таких что $r_\infty\in \mathbb R$ и $r_p\in \mathbb Q_p$ , можно найти последовательность рациональных чисел x_n, таких что для любого p, $|x_i-r_p|_p\to 0$ и $|x_i-r_\infty|\to 0$ .

[править] Применения

Если $F (x 1, x 2,..., x n)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех $k$ сравнения

$F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0\mod p^k$

эквивалентна разрешимости уравнения

$F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0$

в целых

p

-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях

p

-адических чисел при всех

p

, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых

p

-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений

k

. Например, согласно лемме Гензеля (Hensel's lemma), при

n = 1

достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных

k

служит наличие простого решения у сравнения по модулю

p

(т.е. простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю

p

). Иначе говоря, при

n = 1

для проверки наличия корня у уравнения в целых

p

-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при

k = 1

[править] Ссылки

Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.

↑ Kurt Hensel Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88.(нем.)

Числа

Категории: Теория чисел | Числа

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.