P-adikus számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A p-adikus számok, melyeket elsőként Kurt Hensel írt le 1897-ben^[1], a racionális számok kiterjesztése a valós számok és a komplex számok felé kiterjesztéstől eltérő módon. A számelméletben használják fel elsősorban.

Tartalomjegyzék

1 Konstrukció
2 p-adikus kifejtés
3 Tulajdonságok
4 Források
5 Jegyzetek

[szerkesztés] Konstrukció

Legyen p rögzített prím. Definiáljuk a következő függvényt az egész számok halmazán: Ha n eleme $\Bbb Z$ , akkor legyen k a legnagyobb olyan kitevő, amire még p a k-adikon osztója n - nek. Nevezzük ezt a k-t n rendjének.

Teljesül a következő tulajdonság: ha adott két szám, a és b, akkor a/b rendje a rendje - b rendje. Ez alapján a rend kiterjeszthető a racionális számokra. A rend segítségével értelmezzük a p-adikus normát minden x eleme $\Bbb Q$ -ra: |x|_p=1/(p**ord(x)), ha x nem egyenlő 0, és 0, ha x=0. Belátható, hogy ez valóban norma.

A racionális számok a p-adikus normából származtatott metrikával metrikus teret alkotnak, ami teljessé tehető. Ez a metrikus tér a p-adikus számok teste. Ez a teljessé tétel megfelel a valós számoknak.

[szerkesztés] p-adikus kifejtés

Minden egész számnak van p-adikus kifejtése: a p alapú számrendszerben felírt alakja:

$\pm\sum_{i=0}^n a_i \cdot p^i$

ahol az $a i$ számok a ${0,1,..., p - 1}$ halmaz elemei.

Ennek egy általánosítása végtelen összegek megengedése, ezzel a többi valós szám is leírható: az alsó határ mínusz végtelen.

$\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i \cdot p^i$

Ezek a sorok konvergensek az abszolútértékre nézve.

Hasonlóan a felső határt is végtelenig vihetjük, így kapjuk a következő sorokat:

$\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i$

ahol $k$ tetszőleges egész szám. Ezek a sorok konvergensek a p-adikus normában. Bizonyítható, hogy így ugyanúgy a $\Bbb Q_p$ testet kapjuk, mint az előbb.

p-adikus egészeknek nevezzük azokat a számokat, ahol $k$ nemnegatív.

Ezekkel a végtelen számokkal a szokott módon számolhatunk, ügyelve arra, hogy az osztást jobbról balra haladva végezzük, és a kivonás végtelen átvitelt eredményezhet.

Vegyük észre, hogy a negatív számoknak is van p-adikus kifejtése, ezért nincs szükség előjelre.

[szerkesztés] Tulajdonságok

A p-adikus norma nem arkhimédészi.

A p-adikus számok megfeleltethetők a valós számoknak, ezért számosságuk kontinuum. Topológiailag Cantor-halmazt alkotnak egy pont, a végtelen kivételével. Ez a halmaz lokálisan kompakt. A p-adikus egészek halmaza szintén Cantor-halmaz.

Ez test a szokásos műveletekre nézve. Ha a p prím helyett egy l összetett számot veszünk, akkor egy nem nullosztómentes gyűrűt kapunk.

A p-adikus számok teste 0 karakterisztikájú nem rendezett test. Algebrai lezártját végtelen fokú testbővítéssel lehet megkapni. Tehát végtelen sok egymással nem ekvivalens algebrai kiterjesztése van.

Az algebrai lezárt nem teljes metrikus tér. Teljessé tétele, $\Bbb C_p$ izomorf a komplex számok testével. Ez az izomorfizmus a kiválasztási axiómán múlik. Ebben a p-adikus résztest akkor és csak akkor tartalmazza az n-edik körosztási testet, ha n osztója p-1-nek.

A p-adikus számok fölött nem érvényes az integrálszámítás alaptétele:

A $f: \Bbb Q_p\to\Bbb Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2$ függvény nem konstans, deriváltja mégis 0.

Az exponenciális függvény szokásos sorfejtése, $\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

konvergál a $|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }$ sugarú körben.

Az e szám nem eleme a p-adikus számok testének, de e a p-ediken már igen, ha p nem egyenlő 2.

[szerkesztés] Források

Armin Leutbecher: Zahlentheorie - Eine Einführung in die Algebra. Springer-Verlag, 1996, ISBN 3-540-58791-8, S. 116-130
Gouvea, Fernando Q. (2000). p-adic Numbers : An Introduction, 2nd edition, Springer. ISBN 3-540-62911-4.
Koblitz, Neal (1996). P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, 2nd edition, Springer. ISBN 0-387-96017-1.
Robert, Alain M. (2000). A Course in p-adic Analysis. Springer. ISBN 0-387-98669-3.
Steen, Lynn Arthur (1978). Counterexamples in Topology. Dover. ISBN 0-486-68735-X.
Eric W. Weisstein, p-adic Number (MathWorld).
p-adic integers a PlanetMath oldalain
http://eom.springer.de/P/p071020.htm p-adic number
http://www.math.lsa.umich.edu/~bdconrad/676Page/handouts/algclosurecomp.pdf Completion of Algebraic Closure