Дуальные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дуальные числа или комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида a + εb где a и b — вещественные числа и ε² = 0. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел a и b. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей над R. В отличие от поля комплексных чисел эта алгебра содержит делители нуля, причем все они имеют вид aε. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Содержание 1 Определение 1.1 Алгебраическое определение 1.2 Линейное представление 1.3 Замечание 2 Дифференцирование 3 Литература

[править] Определение

[править] Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида (a,b), для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

Числа вида (a,0) отождествляются при этом с вещественными числами, а число (0,1) обозначается ε, после чего определяющие тождества принимют вид:

[править] Линейное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответсвует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим ε = . Тогда произвольное дуальное число примет вид

.

[править] Замечание

Иногда дуальные числа называют двойными числами (например Дж.Хамфри Линейные алгебраические группы. Наука, 1980, стр. 121), хотя обычно под двойными числами понимается другая система гиперкомплексных чисел.

[править] Дифференцирование

Дуальные числа позволяют автоматически производить дифференцирование функций. Рассмторим для начала вещественный многочлен вида P(x) = p₀ + p₁x + p₂x² + ... + p_nxⁿ. Естественно продолжить его область определения с вещественных чисел на дуальные числа. Несложно убедиться, что при этом P(a + bε) = P(a) + bP'(a)ε, где P′ — производная многочлена P по x. После этого оказывается естественным продолжить область определения всех трансцендентных функций на плоскость дуальных чисел по правилу f(a + bε) = f(a) + bf'(a)ε, где f′ — производная функции f. Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и нестандартным анализом. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел во многом подобна бесконечно малому числу из нестандартного анализа: любая степень (выше первой) ε в точности равна 0, в то время как любая стпень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если δ — бесконечно малое число, то с точностью до O(δ²) гипердействительные числа изоморфны дуальным.

[править] Литература

• Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry (англ.)
• V.V. Kisil (2007) "Inventing the Wheel, the Parabolic One" arXiv:0707.4024 (англ.)