Тригонометрические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Запрос «Синус» перенаправляется сюда. О значении термина в анатомии: см. Синусы (анатомия).

Тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции от угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций даже на комплексные числа.

В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с тождествами, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. Кроме того, существуют другие функции, такие как $\operatorname{versin}$ и $\operatorname{exsec}$ , но они в настоящее время почти не используются (см. Редко используемые тригонометрические функции). С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции (см. Обратные тригонометрические функции), а также гиперболические функции.

Основные тригонометрические функции
Функция	Обозначение	Соотношение
Си́нус	$sin$	$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
Ко́синус	$cos$	$\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
Та́нгенс	$\operatorname{tg}$ или $tan$	$\operatorname{tg}\; x=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{ctg}\; \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\operatorname{ctg}\; x}$
Кота́нгенс	$\operatorname{ctg}$ или $cot$	$\operatorname{ctg}\; x=\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{tg}\; \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\operatorname{tg}\; x}$
Се́канс	$sec$	$\sec x=\frac{1}{\cos x}=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
Косе́канс	$\operatorname{cosec}$ или $csc$	$\operatorname{cosec}\; x=\frac{1}{\sin x}=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

Содержание

1 Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
2 Определение тригонометрических функций через окружность
3 Определение тригонометрических функций через ряды
4 Значения тригонометрических функций для некоторых углов
- 4.1 Значения тригонометрических функций нестандартных углов
5 Свойства тригонометрических функций
6 Основные тригонометрические тождества
7 Производные и интегралы
8 История
9 См. также
10 Ссылки

[править] Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Рис. 2
Прямоугольный треугольник

Чтобы определить тригонометрические функции угла $\alpha: 0<\alpha<\frac{\pi}{2},$ возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол $α$ (см. Рис. 2). Стороны этого треугольника мы будем называть так:

Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона $c .$
Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет $a$ — противолежащий по отношению к углу $A .$
Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет $b$ — прилежащий по отношению к углу $A .$

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна $π.$ Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между $0$ и $\frac{\pi}{2}.$ Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Си́нус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin\alpha=\frac{a}{c}.$ Это отношение не зависит от выбора треугольника $A B C$ , содержащего угол $α,$ так как все такие треугольники подобны.

Ко́синус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha=\frac{b}{c}.$ Так как $\sin\beta=\frac{b}{c},$ синус одного острого угла в треугольнике равен косинусу второго, и наоборот.

Та́нгенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}.$

Кота́нгенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname{ctg}\,\alpha=\frac{b}{a}.$ Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Се́канс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: $\sec\alpha=\frac{c}{b}.$

Косе́канс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: $\operatorname{cosec}\,\alpha=\frac{c}{a}.$

Из определений тригонометрических функций следует:

$a=c\sin\alpha\,,$

$b=c\cos\alpha\,,$

$a=b\,\operatorname{tg}\,\alpha,$

$b=a\,\operatorname{ctg}\,\alpha,$

$c=b\sec\alpha\,,$

$c=a\,\operatorname{cosec}\,\alpha,$

и симметрично:

$b=c\sin\beta\,,$

$a=c\cos\beta\,,$

$b=a\,\operatorname{tg}\,\beta,$

$a=b\,\operatorname{ctg}\,\beta,$

$c=a\sec\beta\,,$

$c=b\,\operatorname{cosec}\,\beta.$

[править] Определение тригонометрических функций через окружность

Рис. 3.
Определение тригонометрических функций через окружность.

Рис. 4.
Tригонометрическиe функций угла

α

в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке $O$ и с осями $O X$ и $O Y$ (см. Рис. 3). Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным единице. Пусть отрезок $O A$ поворачивается на произвольный угол $\vartheta$ вокруг центра $O .$

Синусом угла $\vartheta$ называется отношение ординаты точки $A$ к длине отрезка $O A .$ Обозначают $\sin\vartheta=\frac{AC}{OA}.$ Так как длина отрезка $O A$ равна $1$ , то $\sin\vartheta={AC}.$

Косинусом угла $\vartheta$ называется отношение абсциссы точки $A$ к длине отрезка $O A .$ Обозначают $\cos\vartheta=\frac{OC}{OA}.$ Так как длина отрезка $O A$ равна 1, то $\cos\vartheta={OC}.$

Тангенсом угла $\vartheta$ называется отношение ординаты точки $A$ к абсциссе точки $A$ . Обозначают $\operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{AC}{OC}$ (в англоязычной литературе $\tan\vartheta ).$ Так как ${AC}=\sin \vartheta$ и ${OC}=\cos\vartheta,$ то $\operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}.$

Котангенсом угла $\vartheta$ называется отношение абсциссы точки $A$ к ординате точки $A$ . Обозначают $\operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{OC}{AC}$ (в англоязычной литературе $\cot\vartheta ).$ Так как ${AC}=\sin\vartheta$ и ${OC}=\cos\vartheta,$ то $\operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}.$ Котангенс равен обратному значению тангенса: $\operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{1}{\operatorname{tg}\,\vartheta}.$

Секансом угла $\vartheta$ называется отношение длины отрезка $O A$ к абсциссе точки $A$ . Обозначают $\sec\vartheta=\frac{OA}{OC}.$ Так как длина отрезка $O A$ равна 1, то $\sec\vartheta=\frac{1}{OC}.$ Секанс равен обратному значению косинуса: $\sec\vartheta=\frac{1}{\cos\vartheta}.$

Косекансом угла $\vartheta$ называется отношение длины отрезка $O A$ к ординате точки $A$ . Обозначают $\operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{OA}{AC}$ (в англоязычной литературе $\csc\vartheta ).$ Так как длина отрезка $O A$ равна $1$ , то $\operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{1}{AC}.$ Косеканс равен обратному значению синуса: $\operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{1}{\sin\vartheta}.$

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

[править] Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями $\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ и $\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},$ можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

$\operatorname{tg}\,x=x+\frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right), \quad$ где

B n

— числа Бернулли.

$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n},$ где

E n

— числа Эйлера.

[править] Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения тригонометрических функций на окружности.

$\alpha \,\!$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)
$\sin \alpha \,\!$	${0} \,\!$	$\frac{1}{2}\,\!$	$\frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!$	${1}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$
$\cos \alpha \,\!$	${1} \,\!$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!$	$\frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!$	$\frac{1}{2}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$
$\mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\!$	${0} \,\!$	$\frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!$	${1}\,\!$	$\sqrt{3}\,\!$	$\varnothing \,\!$	${0}\,\!$	$\varnothing \,\!$
$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\!$	$\varnothing \,\!$	$\sqrt{3}\,\!$	${1} \,\!$	$\frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!$	${0}\,\!$	$\varnothing \,\!$	${0}\,\!$
$\sec \alpha \,\!$	${1} \,\!$	$\frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!$	$\sqrt{2}\,\!$	${2}\,\!$	$\varnothing \,\!$	${-1}\,\!$	$\varnothing \,\!$
$\operatorname{cosec}\, \alpha \,\!$	$\varnothing \,\!$	${2}\,\!$	$\sqrt{2}\,\!$	$\frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!$	${1}\,\!$	$\varnothing \,\!$	${-1}\,\!$

[править] Значения тригонометрических функций нестандартных углов

$\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{120}= \operatorname{tg} 1.5^\circ =\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})} }}$

$\cos \frac{\pi}{240}=\frac{1}{16}\left(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15} \right) + \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) \right)$

$\cos \frac{\pi}{17} = \frac{1}{8} \sqrt{2 \left( 2\sqrt{\sqrt{\frac{17(17-\sqrt{17})}{2}}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}-4\sqrt{2(17+\sqrt{17})} + 3\sqrt{17}+17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}$

[править] Свойства тригонометрических функций

Функция y = cos x — чётная. Функции: y = sin x, y = tg x, y = ctg x — нечётные, то есть:

$\sin \left( - x \right) = - \sin x\,,$

$\cos \left( - x \right) = \cos x\,,$

$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - x \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, x\,,$

$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - x \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, x\,.$

Для острых углов $\alpha < \frac{ \pi}{2}\,\!$ справедливо:

$\sin \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha\,,$

$\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$

$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,,$

$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,.$

Для углов $0 < \alpha < \pi \,\!$ справедливо:

$\sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$

$\cos \left( \pi - \alpha \right) = - \cos \alpha\,,$

$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{ \pi}{2}\,.$

[править] Основные тригонометрические тождества

Рассмотрим треугольник ABС (см. рис. 2). По теореме Пифагора:

$\left(AC \right)^2 + \left(BC \right)^2 = \left(AB \right)^2,$

если AB = 1, то AC = sin α и BC = cos α, то есть

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad (1)\,$

Если разделить выражение (1) на $cos 2 α$ , то получим следующее тождество:

$1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha}. \qquad \qquad (2) \,$

Если разделить выражение (1) на $sin 2 α$ , то получим следующее тождество:

$1 + \frac{1}{ \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha} = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}, \qquad \qquad (3) \,$

или

$1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}. \qquad \qquad (4) \,$

Так как $\operatorname{tg} \alpha =\frac {\sin \alpha} {\cos \alpha}$ и $\operatorname{ctg} \alpha=\frac {\cos \alpha} {sin \alpha}$ , то $~\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1, \alpha \ne \frac{\pi n} {2}, n \in \mathbb Z$

[править] Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$( \mathop{\mathrm{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},$

$( \mathop{\mathrm{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}.$

$( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x} = \tan x\cdot\sec x$

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int\mathop{\mathrm{tg}}\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,$

$\int\mathop{\mathrm{ctg}}\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,.$

$\int\sec x\, dx=\ln \Big[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}) \Big]+ C$

[править] История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

[править] См. также

[править] Ссылки

GonioLab: Проясненная Единичная Окружность, Тригонометрические и Гиперболические функции (Java Web Start)
Eric W. Weisstein, Тригонометрические функции на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)

Категории: Тригонометрия | Элементарные функции | Специальные функции

Скрытые категории: Википедия:Избранные статьи en-wiki | Википедия:Избранные статьи fr-wiki

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.