Периодическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом

T = 2π

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).

[править] Определение

Пусть $M$ есть абелева группа (обычно предполагается $M=(\R,+)$ — вещественные числа с операцией сложения или $(\mathbb C,+)$ — комплексные числа). Функция $f: M \to N$ называется периодической с пери́одом $T \not= 0$ , если справедливо

$f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M$ .

Если это равенство не выполнено ни для какого $T \in M,\, T \not=0$ , то функция $f$ называется апериоди́ческой.

Если для функции $f: \mathbb C \to N$ существуют два периода $T_1, T_2\not= 0$ , отношение которых не равно вещественному числу, то есть $\frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}$ , то $f$ называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения $f$ на всей плоскости определяются значениями в параллелограме, натянутом на $T 1, T 2$ .

[править] Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если $T$ — период, то и любой элемент $T'$ вида $T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n$ , где $n \in \mathbb{N}$ — произвольное натуральное число, также является периодом.

Однако если у множества периодов $\{T, T>0, T\in\mathbb{R}\}$ имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

[править] Действия с периодическими функциями

Являются неверными утверждения относительно суммы периодических функций:

Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами $T 1$ и $T 2$ является функция с периодом НОД $(T 1, T 2)$ .
Сумма 2 функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией.
Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.