ฟังก์ชันเป็นคาบ
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ในทางคณิตศาสตร์หมายถึงฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นค่าที่ซ้ำกัน บนช่วงจำกัดหนึ่งๆ เรียกว่า คาบ ซึ่งบวกเข้ากับตัวแปรต้น ตัวอย่างในชีวิตประจำวันจะสามารถเห็นได้จากตัวแปรต้นที่เป็นเวลา เช่นเข็มนาฬิกาหรือข้างขึ้นข้างแรมของดวงจันทร์ จะแสดงพฤติกรรมที่ซ้ำกันเป็นช่วงๆ
[แก้] นิยาม
สำหรับฟังก์ชันบนจำนวนจริงหรือจำนวนเต็มที่ให้ค่าซ้ำกันเป็นช่วงๆ นั่นหมายความว่ากราฟทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นสามารถวาดได้จากการคัดลอกกราฟในช่วงที่ซ้ำกันต่อไปเรื่อยๆ หรือในทางที่เจาะจงกว่านี้ ฟังก์ชัน f จะเรียกว่าฟังก์ชันเป็นคาบ บนทุกๆ คาบ P ที่มากกว่าศูนย์ เมื่อ
-
- f(x + P) = f(x)
สำหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ในโดเมนของ f
และเมื่อ f เป็นฟังก์ชันเป็นคาบแล้ว จะได้
-
- f(x + nP) = f(x)
สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นจำนวนเต็ม
[แก้] ตัวอย่าง
จากนิยามข้างต้น หากค่า P เท่ากับ 1 จะได้
-
- f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = ...
และเนื่องจากคาบของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่น้อยที่สุด ดังนั้นค่า P สามารถเท่ากับ 2 ก็ได้
อีกตัวอย่างหนึ่งสามารถสังเกตได้จากฟังก์ชัน f ที่ให้ผลลัพธ์เป็น "เศษหลังจุดทศนิยม" ของตัวแปรต้น
-
- f(0.5) = f(1.5) = f(2.5) = ... = 0.5
ซึ่งจะมีช่วงที่ซ้ำกันบนคาบ P ที่เท่ากับ 1 และกราฟของฟังก์ชันนี้เป็นรูปคลื่นฟันเลื่อย (sawtooth wave)
ในฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันเป็นคาบอย่างหนึ่ง ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2π