Обратные тригонометрические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

аркси́нус (обозначение: arcsin)
аркко́синус (обозначение: arccos)
аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)
арксе́канс (обозначение: arcsec)
арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin⁻¹ для арксинуса и т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

[править] Основное соотношение

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2},$
$\operatorname{arctg}\, x + \operatorname{arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}.$

[править] Функция arcsin

График функции

y = arcsin x

Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого $\sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, |m|\leqslant 1.$

Функция $y = arcsin x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y = arcsin x$ является строго возрастающей.

$\sin (\arcsin x) = x\qquad$ при $-1 \leqslant x \leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y) = y\qquad$ при $-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},$
$D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad$ (область определения),
$E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad$ (область значений).

[править] Свойства функции arcsin

$\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad$ (функция является нечётной).
$\arcsin x>0 \,$ при $0 < x \leqslant 1.$
$\arcsin x = 0\,$ при $x = 0.$
$\arcsin x < 0\,$ при $-1 \leqslant x < 0.$
$\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.$
$\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\ -\operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.$

[править] Получение функции arcsin

Дана функция $y = sin x .$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y = arcsin x$ функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ . Так как для функции $y = sin x$ на интервале $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция $y = arcsin x,$ график которой симметричен графику функции $y = sin x$ на отрезке $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ относительно прямой $y = x .$

[править] Функция arccos

График функции

y = arccos x

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого $\cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.$

Функция $y = arccos x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y = arccos x$ является строго убывающей.

$cos(arccos x) = x$ при $-1 \leqslant x \leqslant 1,$
$arccos(cos y) = y$ при $0 \leqslant y \leqslant \pi.$
$D (arccos x) = [ - 1;1],$ (область определения),
$E (arccos x) = [0;π].$ (область значений).

[править] Свойства функции arccos

$arccos( - x) = π - arccos x$ (функция центрально-симметрична относительно точки $\left (0; \frac{\pi}{2}\right).$
$arccos x > 0$ при $-1 \leqslant x < 1.$
$arccos x = 0$ при $x = 1.$
$\arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.$
$\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix} \right.$

Формула выше, по-моему, не очень верна [xmode]

$\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, (\sqrt{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}}),\qquad 0 < x \leqslant 1 \\\pi-\operatorname{arctg}\, (\sqrt{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}}),\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix} \right.$

[править] Получение функции arccos

Дана функция $y = cos x .$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y = arccos x$ функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — $[0;π].$ На этом отрезке $y = cos x$ строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке $[0;π]$ существует обратная функция $y = arccos x,$ график которой симметричен графику $y = cos x$ на отрезке $[0;π]$ относительно прямой $y = x .$

[править] Функция arctg

График функции $y=\operatorname{arctg}\, x$ .

Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого $\operatorname{tg}\, x = m, \qquad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}.$

Функций $y=\operatorname{arctg} x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\operatorname{arctg} x$ является строго возрастающей.

$\operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x$ при $x \in \mathbb R,$
$\operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y$ при $-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},$
$D(\operatorname{arctg}\,x) \in \mathbb R,$
$E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$

[править] Свойства функции arctg

$\operatorname{arctg}\,(-x) = -\operatorname{arctg}\,x$ (функция нечётная).
$\operatorname{arctg}\,x>0$ при $x > 0.$
$\operatorname{arctg}\,x=0$ при $x = 0.$
$\operatorname{arctg}\,x<0$ при $x < 0.$
$\operatorname{arctg}\,x = \left\{\begin{matrix} \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0 \\-\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad x \leqslant 0 \end{matrix}\right.$
$\operatorname{arctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{1}{x}, x > 0 \\\operatorname{arcctg}\, \frac{1}{x} - \pi,\qquad x < 0\end{matrix}\right.$

[править] Получение функции arctg

Дана функция $y=\operatorname{tg}\, x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname{arctg}\, x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right).$ На этом отрезке $y=\operatorname{tg}\, x$ строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ существует обратная функция $y=\operatorname{arctg}\, x$ , график которой симметричен графику $y=\operatorname{tg}\,x$ на отрезке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ относительно прямой $y = x .$

[править] Функция arcctg

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого $\operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.$

Функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ является строго убывающей.

$\operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x$ при $x \in \mathbb R,$
$\operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y$ при $0 < y < π,$
$D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),$
$E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).$

[править] Свойства функции arcctg

$\operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x$ (график функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right).$
$\operatorname{arcctg}\, x > 0$ при любых $x .$
$\operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0 \\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad 0 \leqslant x\end{matrix}\right.$

[править] Получение функции arcctg

Дана функция $y=\operatorname{ctg}\, x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname{arcctg}\, x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — $(0;π)$ . На этом отрезке $y=\operatorname{ctg}\, x$ строго возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $(0;π)$ существует обратная функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ , график которой симметричен графику $y=\operatorname{ctg}\, x$ на отрезке $(0;π)$ относительно прямой $y = x .$

[править] Функция arcsec

[править] Функция arccosec

[править] Производные от обратных тригонометрических функций

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
$(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.$
$(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}.$
$(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}.$

[править] Интегралы от обратных тригонометрических функций

[править] Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

$\begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C. \end{align}$

Для действительных x≥1:

$\begin{align} \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C. \end{align}$

[править] Разложение в бесконечные ряды

$\begin{align} \arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots =\\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1. \end{align}$

$\begin{align} \arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z =\\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) =\\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1. \end{align}$

$\begin{align} \operatorname{arctg}\,z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots =\\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i. \end{align}$

$\begin{align} \operatorname{arcctg}\,z & {}= \frac {\pi} {2} - \operatorname{arctg}\,z =\\ & {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) =\\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i. \end{align}$

$\begin{align} \arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) =\\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) =\\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; \qquad \left| z \right| \ge 1. \end{align}$

$\begin{align} \operatorname{arccosec}\,z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) =\\ & {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots =\\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; \qquad \left| z \right| \ge 1. \end{align}$