Обратная функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Содержание |
[править] Определение
Функция является обратной к функции если для них выпонены следующие два тождества:
- f(g(y)) = y для всякого
- g(f(x)) = x для всякого
[править] Связанные определения
- Функция для которой существует обратная называется биекцией.
[править] Существование
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение x = F(y) относительно y. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к F не существует.
Согласно теореме о неявной функции выразить y из уравнения x − F(y) = 0 возможно в том и только том случае, когда функция F(y) монотонна. Но даже в противном случае возможно обратить функцию на любом из промежутков её монотонности. Так, можно говорить, что является обратной функцией к x2 на . На другом промежутке, точнее , обратная функция другая: .
[править] Свойства
- Областью определения F − 1 является множество Y, а областью значений множество X.
- По построению имеем:
или
- ,
- ,
или короче
- ,
- ,
где означает композицию функций, а idX,idY — тождественные отображения на X и Y соответственно.
- Функция F является обратной к F − 1:
- .
- Пусть — биекция. Пусть её обратная функция. Тогда графики функций y = F(x) и y = F − 1(x) симметричны относительно прямой y = x.
[править] Примеры
- Если , где a > 0, то F − 1(x) = logax.
- Если , где фиксированные постоянные, то
- Если , то