Теорема о неявной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

y = f (x)

, $f:X\to Y$ ,

заданной уравнением

F (x, y) = z 0

, $F:X\times Y\to Z$

и значение $z_0\in Z$ фиксированно.

[править] Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция $F:\R\times\R\to\R$

непрерывна в некоторой окрестности точки $(x 0, y 0)$
$F (x 0, y 0) = 0$ и
При фиксированном $x$ , функция $F (x, y)$ строго монотонна по $y$ в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток $I=I_x \times I_y$ , являющийся окрестностью точки $(x 0, y 0)$ , и такая непрерывная функция $f:I_x\to I_y$ , что для любой точки $(x,y) \in I$

$F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)$

Обычно дополнительно предполагается что функция $F$ непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотнности следует из того что $F_y'(x_0,y_0)\ne0\quad$ , здесь $F y'$ обозначает частную производную $F$ по $y$ . Более того, в этом случае, производная функции $f$ может быть вычислена по формуле

$f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.$

[править] Многомерный случай

Пусть $\R^n$ и $\R^m$ суть $n$ - и $m$ -мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно $x=(x_1,\dots,x_n)$ и $y=(y_1,\dots,y_m)$ . Пусть $F$ отображает некоторую окрестность $W$ точки $(x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m$ в пространство $\R^m$ и $F 1, F 2,..., F m$ — координатные функции (от переменных $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m$ ) отображения $F$ , т. е. $F = (F 1, F 2,..., F m)$ .

Если отображение $F$ дифференцируемо на $W$ , $F (x 0, y 0) = 0$ , а якобиан отображения $y\mapsto F(x_0,y)$ не равен нулю в $y 0$ то существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x 0$ и $y 0$ соответственно в пространствах $\R^n$ и $\R^m$ , $U\times V\subset W$ и единственное отображение $f : U \to V$ такие, что для всех $x\in U$ выполняется условие $F(x, f(x)) = 0\in \R^m$ .

При этом $f (x 0) = y 0$ . Более того, отображение $f$ дифференцируемо на $U$ .

[править] Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;
Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972;
Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.