Teorema delle funzioni implicite

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Il teorema delle funzioni implicite è un importante strumento dell'analisi matematica e della geometria che stabilisce quando il luogo di zeri di un'equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile.

Il caso più semplice, detto dalla scuola pisana teorema del Dini, stabilisce le condizioni in cui in una relazione tra due variabili reali del tipo

$F(x,y)=0\,$

è possibile "esplicitare" una delle due variabili arrivando ad una relazione equivalente della forma

$y=f(x)\,$

oppure

$x=g(y)\,$ .

È possibile considerare casi generali in cui $x$ e $y$ variano rispettivamente in Rⁿ ed R^m.

Indice

1 Il teorema in due dimensioni
- 1.1 Dimostrazione
2 Il teorema in più dimensioni
3 Voci correlate

[modifica] Il teorema in due dimensioni

Consideriamo una funzione di classe C¹

$F: A \to \R$

definita su un insieme aperto $A \subset \R^2$ , e consideriamo l'insieme

$Z=\{(x,y)\in A: F(x,y)=0\}$ .

Se $Z$ è non vuoto ci sarà un punto $(x 0, y 0)$ tale che

$F(x_0,y_0)=0\,$

Il teorema afferma che se $(x 0, y 0)$ non è un punto critico, ovvero

$\nabla F (x_0,y_0)\neq0$ ,

allora esiste un intorno $U$ di $(x 0, y 0)$ tale che l'insieme $Z \cap U$ è il grafico di una funzione derivabile. Questo equivale a dire che è possibile esplicitare una delle due variabili in funzione dell'altra.

Teorema: Teorema delle funzioni implicite

Sia $g : A\subset\R^2\rightarrow \;R$ una funzione di classe $\mathcal{C}^1$ nell'aperto $A\,\!$ e sia $(x_0,y_0)\in A$ tale che $g (x 0, y 0) = 0$ , $g_y(x_0,y_0)\ne 0$ . Allora esistono un intervallo reale aperto $I\,\!$ con $x_0\in I$ , un intervallo reale aperto $J\,\!$ con $y_0\in J$ ed una funzione $y(x)\,\!$ di classe $\mathcal{C}^1$ in $I\,\!$ a valori in $J\,\!$ tale che $y(x_0)=y_0, y'(x_0)=-\left( \frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)} \right)$ e tale che per ogni $x \in I, y \in J$ sia

$g(x,y)=0 \Longleftrightarrow \; y=y(x)$

È evidente che scambiando i ruoli delle variabili si giunge a definire una funzione $x = x (y)$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia data una funzione continua $f:A\subset R^2\to R$ di classe $\mathcal{C}^1$ in $A\,\!$ tale che $\nabla F (x,y)\neq0$ in tutti i punti tali che $g(x,y)=0\,\!$ , cioè nella curva di livello

$V=\{(x,y)\in A : g(x,y)=0\}$ .

Sia $(x 0, y 0)$ un punto di $V\,\!$ ; prendendo lo sviluppo al primo ordine di Taylor

$g(x,y)=g(x_0,y_0)+g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)+0(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$

Tenendo conto che $g(x_0,y_0)=0\,\!$ , uguagliando a zero la prima parte del primo ordine si ottiene:

$g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0\,\!\,\!$

Per ipotesi questa equazione di primo grado ha almeno un coefficiente diverso da zero, poniamo quindi : $g_y(x_0,y_0)\neq0$ .

Si può ricavare $y\,\!$ in funzione di $x\,\!$

$y=y_0 - \frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}(x-x_0)$

Questo teorema dice che l'errore nella formula di approssimazione al primo ordine non incide sulla possibilità di esprimere una variabile in funzione dell'altra. La funzione ottenuta ha sviluppo al primo ordine

$y=y_0 - \frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}(x-x_0) + o(x-x_0)$

[modifica] Il teorema in più dimensioni

Per enunciare il teorema nella situazione generale in più dimensioni dobbiamo ricollegarci alla nozione di jacobiano di un campo vettoriale come la matrice delle derivate parziali. Le conclusioni cui si giunge sono le stesse del caso precedente e giungeremo a definire una funzione dalle prime n variabili nelle seconde m.

Teorema: Teorema delle funzioni implicite

Sia $g : A\subset\R^{n+m}\rightarrow \R^m$ una funzione di classe $\mathcal{C}^1$ nell'aperto $A\,\!$ e sia $(x_0,y_0)\in A$ (dove $x_o \in \R^n, y_o \in \R^m$ ) tale che $g (x 0, y 0) = 0$ , $rg{\partial (f_1,\ldots,f_m) \over \partial (y_1,\ldots,y_m)}(x_o,y_o)=m$ . Allora esistono un intorno aperto $I\,\!$ di $\R^n$ con $x_0\in I$ , un intorno aperto $J\,\!$ di $\R^m$ con $y_0\in J$ ed una funzione $y(x)\,\!$ di classe $\mathcal{C}^1$ in $I\,\!$ a valori in $J\,\!$ tale che per ogni $x \in I, y \in J$ sia