Дифференцируемая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

[править] Определения

Пусть дана функция $f:M\subset \R \to \R$ , и $x_0\in M^0$ — внутренняя точка области определения $f .$ Тогда $f$ называется дифференци́руемой в $x 0,$ если существует окрестность $U(x_0) \ni x_0$ и число $A \in \mathbb{R}$ такие, что в этой окрестности для $f$ справедливо представление

$f(x) = f(x_0) + A \cdot (x-x_0) + o(x-x_0),\quad x \in U(x_0),$

где

o (x - x 0)

обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с

x - x 0

при $x \to x_0.$ Если

f

дифференцируема в

x 0,

пишут $f \in \mathcal{D}(x_0).$

Линейное отображение $l(h) = A \cdot h,\; h \in \R,$ где $A$ — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции $f$ в точке $x 0$ и обозначается $d f (x 0).$

Функция $z = f (x; y)$ называется дифференцируемой в точке $M (x; y)$ , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

$\Delta z = A \cdot \Delta x + B \cdot \Delta y + \alpha \cdot \Delta x + \beta \cdot \Delta y$ ,

где $\alpha = \alpha (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0$ и $\beta = \beta (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0$ при $\Delta x \rightarrow 0$ , $\Delta y \rightarrow 0$

[править] Свойства

Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того

$\bigl( f(x) = f(x_0) + A \cdot (x-x_0) + o(x-x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( f'(x_0) = A \bigr).$

Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.

Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть

$\bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Rightarrow \bigl( f \in C(x_0) \bigr).$

Обратное, вообще говоря, неверно.

[править] Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Основная статья: Касательная прямая

Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция $f_l:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , задаваемая уравнением $f l (x) = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0)$ , называется касательной к функции $f$ в точке $x 0 .$

[править] Примеры

Функция $f (x) = x 2$ определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление

$f (x) = f (x 0) + 2 x 0 (x - x 0) + (x - x 0) 2$ .

Таким образом имеем:

f'(x 0) = 2 x 0

. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: $f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0)$ . Дифференциал этой функции задаётся формулой:

d f (x 0)(h) = 2 x 0 h

Функция $f (x) = | x |$ является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке $x 0 = 0$ , её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определён и её дифференциал.

[править] См. также

[править] Ссылки

Категория: Дифференциальное исчисление

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Дифференцируемая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определения

[править] Свойства

[править] Касательная прямая

[править] Примеры

[править] См. также

[править] Ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках