Дифференцирование сложной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Содержание

1 Одномерный случай
2 Многомерный случай
- 2.1 Следствия

[править] Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $f:U(x_0) \to V(y_0),$ где $y 0 = f (x 0),$ и $g:V(y_0) \to \R$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция также дифференцируема: $h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0),$ и её производная имеет вид:

$h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).$

[править] Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции $y = y (x),$ где $x = x (t),$ принимает следующий вид:

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.$

[править] Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции $z = g (y)$ в точке $y 0$ имеет вид:

$dz = g'(y_0) \, dy,$

где $d y$ — дифференциал тождественного отображения $y \to y$ :

$dy(h) = h,\quad h \in \R.$

Пусть теперь $y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0).$ Тогда $dy = f'(x_0)\, dx$ , и согласно цепному правилу:

$dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.$

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

[править] Пример

Пусть $h (x) = (3 x 2 - 5 x) 7 .$ Тогда функция $h$ может быть записана в виде композиции $h = g \circ f,$ где

$f(x) = 3x^2-5x,\; g(y) = y^7.$

Дифференцируя эти функции отдельно:

$f'(x) = 6x - 5,\; g'(y) = 7y^6,$

получаем

$h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).$

[править] Многомерный случай

Пусть даны функции $f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n,$ где $y 0 = f (x 0),$ и $g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p.$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in \mathcal{D}(x_0)$ и $g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

$dh(x_0) = dg(y_0) \circ df(x_0).$

В частности, матрица Якоби функции $h$ является произведением матриц Якоби функций $g$ и $f :$

$\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.$

[править] Следствия

Якобиан композиции двух функций является произведений якобианов индивидуальных функций:

$\left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.$

Для частных производных сложной функции справедливо

$\frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.$