Regola della catena

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In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili. Essa afferma che:

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna.

$D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ^[1]

[modifica] Dimostrazione

Sia, per non appesantire la notazione, $Δ g : = g (x + h) - g (x)$ , da cui $g (x + h) = g (x) + Δ g$ . Definiamo ora

$\omega (\Delta g) = \begin{cases} \frac{f(g(x)+ \Delta g) - f(g(x))}{\Delta g} - f'(g(x)) & \mbox{se } \Delta g \ne 0 \\ 0 & \mbox{se } \Delta g = 0 \end{cases}$

È dunque

$f(g(x)+ \Delta g) - f(g(x))= f'(g(x)) \cdot \Delta g + \omega (\Delta g) \cdot \Delta g$ .

Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di $f$ , è

$\lim_{\Delta g \to 0}\omega(\Delta g)=0$ .

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di $f (g (x))$ :

$D[f(g(x))] = \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(g(x) + \Delta g)-f(g(x))}{h}=$

$=\lim_{h \to 0}\frac{f'(g(x)) \cdot \Delta g + \omega (\Delta g) \cdot \Delta g}{h}$ .

Spezzando la frazione, abbiamo

$\lim_{h \to 0}f'(g(x)) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \lim_{h \to 0}\omega (\Delta g) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

E quindi passando al limite

$D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) + 0 \cdot g'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ cvd.

[modifica] Osservazioni

Nella notazione di Leibniz, questo si risolve nell'identità

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}$ ,

che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il $d g$ si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non è una dimostrazione rigorosa.

Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:

$D[(f \circ g \circ h)(x)]=f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$

e così via.

[modifica] Esempio

Sia $f (x) = log x - 3$ , $g (x) = x 2 + 3 x$ , $h(x)={x \over 2}$ . Allora:

$(f \circ g \circ h)(x) = \log\left[\left({x \over 2}\right)^2 + 3 {x \over 2}\right] - 3$

$D[(f \circ g \circ h)(x)]={1 \over ({x \over 2})^2 + 3 {x \over 2}}\cdot \left(2 {x \over 2} + 3\right) \cdot {1 \over 2}$

[modifica] Derivate successive

Per approfondire, vedi la voce Formula di Faà di Bruno.

L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se $f, g$ possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:

$\frac{d^2 f}{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}$

$\frac{d^3 f}{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}$

[modifica] Generalizzazioni in più variabili

La formula, con qualche aggiustamento, è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali.

Se $f$ è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale $(g, h)$ , cioè $f (g (t), h (t))$ , allora

${\partial f \over \partial t}={\partial f \over \partial g}{dg \over dt}+{\partial f \over \partial h}{dh \over dt}$

In generale, se $\vec g$ è una funzione vettoriale a una variabile derivabile e $f$ una funzione scalare differenziabile, allora la derivata di $f \circ \vec g$ è: