Прямая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Прямая — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

[править] Свойства прямой в Евклидовой геометрии

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

[править] Формулы

Уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
$A x + B y + C = 0$

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
$y = k x + b$

Параметрическое уравнение прямой:
$x = x 0 + m t$
$y = y 0 + n t$
$z = z 0 + p t$

Уравнение прямой на плоскости в полярных координатах:
$r cos(φ - α) = ρ$

Нормальное уравнение прямой на плоскости:
$x cosφ + y sinφ = p$

Точка пересечения двух прямых на плоскости $A 1 x + B 1 y + C 1 = 0$ и $A 2 x + B 2 y + C 2 = 0$ :
$x=\frac{B_1C_2 - B_2C_1}{A_1B_2 - A_2B_1}$ ; $y=\frac{C_1A_2 - C_2A_1}{A_1B_2 - A_2B_1}$

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки $\left(x_1,y_1\right)$ и $\left(x_2,y_2\right)$ :
$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Расстояние между точкой и прямой
для прямой $A x + B y + C = 0$ и точки $\left(x_1,y_1\right)$ :
$r = \frac{\left|Ax_1 + By_1 + C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Условие параллельности двух прямых на плоскости:
Прямые $A 1 x + B 1 y + C 1 = 0$ и $A 2 x + B 2 y + C 2 = 0$ являются параллельными тогда и только тогда, когда:
$\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}$

Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости:
Прямые $A 1 x + B 1 y + C 1 = 0$ и $A 2 x + B 2 y + C 2 = 0$ являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда:
$A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0$