See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Евклидово пространство — Википедия

Евклидово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство  \mathbb R^n с введённой на нём нормой

\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}

где x=(x_1,x_2,\dots, x_n).

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством  \mathbb R^n над полем вещественных чисел с евклидовой метрикой, введённой по формуле:

d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots (x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2},

где x=(x_1,x_2,\dots, x_n) и  y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n.

3. Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением (положительно определенным), иначе говоря - конечномерное гильбертово пространство. В таком пространстве всегда можно ввести базис, в котором будет верно (1) и (2) (Конечномерное пространство с невырожденным скалярным произведением, не являющимся положительно определенным, называется псевдоевклидовым).

[править] Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

  • \R^1 размерности 1 (вещественная прямая)
  • \R^2 размерности 2 (евклидова плоскость)
  • \R^3
  • Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (т.к. оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Можно привести и несколько более абстрактные примеры:

  • пространство вещественных полиномов степени, не превосходящей n, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией)
  • вообще пространство всех линейных комбинаций конечного набора вещественных функций
  • пространство состояний конечномерной квантовой системы (или конечномерное подпространство полного пространства состояний) в вещественном представлении.

[править] См. также


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -