Евклидово пространство
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов:
1. Конечномерное вещественное векторное пространство с введённой на нём нормой
где .
2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством над полем вещественных чисел с евклидовой метрикой, введённой по формуле:
- ,
где и .
3. Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением (положительно определенным), иначе говоря - конечномерное гильбертово пространство. В таком пространстве всегда можно ввести базис, в котором будет верно (1) и (2) (Конечномерное пространство с невырожденным скалярным произведением, не являющимся положительно определенным, называется псевдоевклидовым).
[править] Примеры
Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:
- размерности 1 (вещественная прямая)
- размерности 2 (евклидова плоскость)
- Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (т.к. оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.
Можно привести и несколько более абстрактные примеры:
- пространство вещественных полиномов степени, не превосходящей n, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией)
- вообще пространство всех линейных комбинаций конечного набора вещественных функций
- пространство состояний конечномерной квантовой системы (или конечномерное подпространство полного пространства состояний) в вещественном представлении.