Inverz függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Míg egy f függvény (a matematikában) egy x értékhez egyetlen y értéket rendel (jelben f: x $\mapsto$ y), addig az f függvény inverz függvénye:

„egy y-hoz azt az egyetlen x-et rendeli, melyhez f az y-t rendelte”,

tehát (az f inverz függvényét $\mbox{ }_{f^{-1}}$ -nel jelölve)

$\mbox{ }_{f^{-1}}$ : y $\mapsto$ x, melyre: f(x) = y.

Az inverz függvények jellegzetesen akkor kerülnek elő, amikor egyes függvényértékekből következtetünk arra, hogy mi lehetett az a szám, amihez a függvény az adott értéket rendeli. Példák.

Melyik az a szög, aminek a szinusza $\mbox{ }_{\frac{1}{2}}$ -del egyenlő (sin x = $\mbox{ }_{\frac{1}{2}}$ )? Ekkor a szinuszfüggvény egy leszűkítésének inverze, az arkusz szinusz függvény játszik fontos szerepet.
Melyik az a kitevő, amelyre a 10-et emelve 1 000 000-t kapunk (10ⁿ = 1 000 000)? Ekkor a tizes alapú exponenciális függvény inverze, a tizes alapú logaritmus kerül elő.
Melyik az a szám, aminek a köbe 729 -cel egyenlő (x³ = 729)? Ennél a feladatnál a harmadik hatványra emelés függvény inverze, a köbgyök függvény segít.

Világos, hogy ez csak kölcsönösen egyértelmű hozzárendelések esetén lehetséges, azaz, amelyek különböző x-ekhez különböző y-okat rendelnek, máskülönben nem teljesülne a fenti egyértelműségi kitétel. Az ilyen függvényeket injektívnek, vagy invertálhatóaknak nevezik.

Tartalomjegyzék

1 Általános definíció
2 Inverz függvény a halmazelméletben
3 Algebrai tulajdonságok
4 Inverz függvény létezésének elégséges feltételei
5 Geometriai jellemzés
6 Analitikus tulajdonságok
7 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Általános definíció

Ha az f : H $\rightarrow$ K függvény bijektív, azaz minden egyes K-beli y értékre egyetlen egy olyan H-beli x érték létezik, amelyre teljesül, hogy f(x)=y, akkor minden egyes y ∈ K elem esetén:

$f^{-1}(y)\,$

jelöli azt az egyetlen H-beli elemet, melyre

$f(f^{-1}(y))=y\,$

teljesül.

Ekkor $\mbox{ }_{f^{-1}}\,$ -vel jelöljük és az f inverz függvényének mondjuk a K halmazon értelmezett, K $\rightarrow$ H; y $\mapsto$ $\mbox{ }_{f^{-1}(y)}\,$ függvényt.

Példa.

Legyen a pozitív, egytől különböző valós szám. Az R $\rightarrow$ R⁺; x $\mapsto$ a^x függvény (az a alapú exponenciális függvény) bijektív és minden b pozitív valós számhoz egyértelműen létezik az a log_a b valós szám, melyre

$a^{\log_a b}=b\,$

Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett y $\mapsto$ log_a y függvény az a alapú exponenciális függvény inverze.

Valójában az is igaz, hogy az a alapú logaritmusfüggvény inverze nem más, mint az a alapú exponenciális függvény.

[szerkesztés] Inverz függvény a halmazelméletben

A halmazelméletben egy függvény rendezett párok egy speciális halmaza éspedig egy olyan halmazelméleti f reláció, melyre az teljesül, hogy a második komponensében egyértelmű, azaz

$(\forall x)(\forall y_1)(\forall y_2)(\,(xfy_1\;\wedge\;xfy_2)\;\Rightarrow\;y_1=y_2)$

Minden az értelmezési tartománybeli x-re tehát egyetlen olyan y létezik, hogy amellyel xfy teljesül. Ezesetben ezt az y-t f(x)-szel jelöljük. Így felírható:

$f=\{(x,y)\mid f(x)=y\}$

Ekkor az inverz reláció a párok elemeinek megfordításával keletkezik:

$f^{-1}=\{(y,x)\mid f(x)=y\}$

Ha ez a reláció szintén függvény, azaz f injektív, akkor $\mbox{ }_{f^{-1}}$ az f inverz függvénye. Természetesen ekkor fennáll:

$\forall x \in \mathrm{Dom}(f)\;\;f^{-1}(f(x))=x$ illetve $\forall y \in \mathrm{Ran}(f)\;\;f(f^{-1}(y))=y$

ahol Dom(f) az f függvény értelmezési tartománya, Ran(f) az értékkészlete.

[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok

Ha az f függvény értelmezési tartománya a H halmaz és értékkészlete a K halmaznak részhalmaza, akkor ez így jelöljük: f:H $\rightarrow$ K.

[szerkesztés] Jobbinverz

Az f : H $\rightarrow$ K függvény jobbinverzeinek nevezik az olyan g: K $\rightarrow$ H függvényeket, melyekre teljesül:

$f\circ g = id_{K}\,$

Állítás – Ha egy f:H $\rightarrow$ K függvénynek van jobbinverze, akkor f ráképez K-ra.

Bizonyítás. Legyen g a fenti, és vegyünk egy tetszőleges y ∈ K elemet. Mivel id_K azonos fog-vel, ezért ugyanott, azaz K-n vannak értelmezve. Ekkor azonban az x:=g(y) olyan H-beli elem, melyre f(x)=f(g(y))=id(y)=y, tehát az x elem f általi képe y. (Másként: K = Ran(id_K)= Ran(fog) ⊆ Ran(f), tehát K = Ran(f)). ■

Állítás – A kiválasztási axióma ekvivalens azzal a kijelentéssel, hogy minden f függvénynek van olyan jobbinverze, mely Ran(f)-en értelmezett.

A kiválasztási axióma mellett tehát érvényes az a kijelentés, hogy egy f:H $\rightarrow$ K függvénynek pontosan akkor van jobbinverze, ha f ráképez K-ra.

[szerkesztés] Balinverz

Az f:H $\rightarrow$ K függvény balinverzeinek nevezik az olyan h függvényeket, melyekre teljesül:

$h\circ f = id_{H}\,$

Állítás – Az f:H $\rightarrow$ K függvénynek pontosan akkor van balinverze, ha injektív.

Állítás – Az f:H $\rightarrow$ K függvény akkor és csak akkor bijekció H és K között, ha K $\rightarrow$ H típusú balinverzei és jobbinverzei léteznek és egyenlők.

[szerkesztés] Invertálhatóság

Invertálhatónak nevezzük az f:H $\rightarrow$ K függvényt, ha van olyan $\mbox{ }_{f^{-1}}$ :K $\rightarrow$ H függvény, amire

$f\circ f^{-1} = id_{K}\,$

$f^{-1}\circ f = id_{H}\,$

egyszerre teljesül. Ekkor $\mbox{ }_{f^{-1}}$ -et inverznek nevezzük és ez egyértelmű.

Állítás – Egy H $\rightarrow$ K függvény pontosan akkor invertálható, ha bijektív.

Fontos algebrai tulajdonság a következő. Ha f és g két invertálható függvény, akkor f o g is invertálható és

$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

[szerkesztés] Inverz függvény létezésének elégséges feltételei

Folytonosan differenciálható (legtágabb értelmezési körében normált terek között ható) függvény esetén elégséges feltételt az Inverzfüggvény-tétel ad az inverz lokális létezésére.
Lineáris operátorok esetén az invertálhatóság szükséges és elégséges feltétele a leképezés mátrixának nemnulla determinánsa. (Pontosabban, ha $\mbox{ }_{\mathcal{A}}$ egy a véges dimenziós V vektortérből V-be képező lineáris leképezés és A a koordinátamátrixa, akkor $\mbox{ }_{\mathcal{A}}$ pontosan akkor injektív, ha det(A) ≠ 0)