Inverzfüggvény-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az inverzfüggvény-tétel a matematikai analízisben egy differenciálható függvény inverzének létezésére ad (lokális vagy globális) feltételt. A differenciálható függvényeknek megvan az a szemléletes tulajdonsága, hogy a függvény görbéje belesimul az érintőbe. Ha ott az érintő meredeksége nem nulla, akkor a függvény egy kis szakaszon szigorúan monoton, így invertálható. Az inverzfüggvény-tétel erre az intuitív szituációnak a megvalósulására fogalmaz meg biztos matematikai feltételeket.

Tartalomjegyzék

1 Egyváltozós eset
2 Többváltozós eset
3 Inverzfüggvény-tétel analitikus függvényekre
- 3.1 Példa
4 Lásd még
5 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Egyváltozós eset

Szinte nyilvánvaló, bár sok fontos eszközt felvonultató a következő R-re vonatkozó tétel.

Tétel – Inverzfüggvény-tétel – Ha az f : $I$ $\rightarrow$ R nyílt intervallumon értelmezett, differenciálható függvény valamely u ∈ $I$ pontban folytonos, nemnulla deriválttal rendelkezik, akkor u-nak létezik $I$ -ben olyan V nyílt környezete, hogy $\mbox{ }_{f|_V}\,$ leszűkített függvény

invertálható,
diffeomorfizmus (inverzével együtt differenciálható) és
minden x ∈ V-re $\mbox{ }_{(f^{-1})'(f(x))}$ = $\mbox{ }_{1/f'(x)}\,$ .

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $\mbox{ }_{f'(u)}\,$ > 0 (ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Ekkor $\mbox{ }_{f'}\,$ u-beli folytonossága miatt létezik $I$ -ben olyan u-t tartalmazó nyílt V környezet, hogy $\mbox{ }_{f'|_V}\,$ minden értéke pozitív, amiből következik, hogy V-ben f szigorúan monoton nő. Eszerint itt f injektív. Mivel f differenciálható, pozitív deriválttú (és injektív), ezért az inverz is differenciálható, így f diffeomorfizmus és az inverz deriváltja a szokásos képlettel számítható. ■

Ha lecsupaszítjuk az előző, túl erős megszorításokat tartalmazó állítás feltételeit, akkor az erős differenciálhatóság fogalmához jutunk. Ezzel az inverzfüggvény-tétel egy páratlanul erős alakban mondható ki.

Tétel – Inverzfüggvény-tétel (lokális alak) – Ha az f valós-valós függvény erősen differenciálható az értelmezési tartománya egy u belső pontjában és ott a derivált nem nulla, akkor létezik u-nak olyan V nyílt környezete, hogy $\mbox{ }_{f|_V}\,$ leszűkített függvény

invertálható,
homeomorfizmus (inverzével együtt folytonos) és
$\mbox{ }_{(f^{-1})'(f(u))=1/f'(u)}\,$

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $\mbox{ }_{f'(u)}\,$ > 0 (ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Az erős differenciálhatóságból következik, hogy létezik u-nak olyan nyílt környezete, ahol bármely két, egymástól különböző $x 1$ és $x 2$ pontra $\mbox{ }_{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0}$ , amiből minden $x 2$ > $x 1$ pár esetén az f( $x 2$ ) – f( $x 1$ ) > 0 következik, vagyis az f függvény a V-ben szigorúan monoton növekvő. Ezen kívül V tovább szűkíthető (szintén u körüli nyílt halmazra) olymódon, hogy teljesüljön az |f( $x 2$ )-f( $x 1$ )| ≦ ( | $\mbox{ }_{f'(u)}\,$ | + 1 ) $\cdot$ | $x 2$ - $x 1$ | Lipschitz-tulajdonság. Ebből következik, hogy f a V-n folytonos, a szigorú monotonitással együtt pedig következik, hogy nyílt leképezés, azaz az inverz is folytonos (f a V-n tehát homeomorfizmus). Az inverz u-beli differenciálhatósága az inverz deriválási szabálya alapján következik. ■

Megjegyezzük, hogy annak egy elégséges feltétele, hogy az u pontban f erősen differenciálható legyen az, hogy u a derivált értelmezési tartományának belső pontja legyen és ott f folytonosan differenciálható legyen. Ezért praktikusan a második tétel valójában az elsőbe megy át, hiszen jórészt a folytonos differenciálhatóság az, amit egy függvényről tudunk.

[szerkesztés] Többváltozós eset

Magasabb dimenziószám esetén a deriváltat a differenciál helyettesíti. Ekkor az általános tétel a következő.

Tétel – Lokális inverzfüggvény-tétel normált terekre – Legyen f az E Banach-térből az F normált térbe képező olyan függvény, mely az értelmezési tartománya egy u belső pontjában erősen differenciálható és és ott df(u) differenciálja lineáris homeomorfizmus (az inverzével együtt folytonos leképezés). Ekkor létezik u-nak olyan, az értelmezési tartománybeli nyílt V környezete, ahol a függvény homeomorfizmus és inverze erősen differenciálható f(u)-ban.

Egy „kézzelfoghatóbb” megfogalmazás a következő.

Tétel – Inverzfüggvény-tétel Rⁿ-re – Ha az f függvény Rⁿ-ből Rⁿ-be képező folytonosan differenciálható függvény, az értelmezési tartományának egy u belső pontjában a J^f(u) Jacobi-mátrix determinánsa nem nulla, akkor van u-nak olyan V nyílt környzete az értelmezési tartományban, hogy f ezen a halmazon folytonosan differenciálható diffeomorfizmus és az inverz Jacobi-mátrixa minden x ∈ V-re:

$J^{f^{-1}}(f(x))=\left(J^{f}(x)\right)^{-1}$

[szerkesztés] Inverzfüggvény-tétel analitikus függvényekre

Kissé zavaró lehet, hogy a tétel csak az inverz létezését biztosítja, de magának az inverz függvénynek az explicit alakját nem feltétlenül tudhatjuk, legrosszabb esetben csak az f(u)-beli deriváltját. Természetesen az olyan példák esetén, mint a pozitív számok halmazán értelmezett

x

$\mapsto$

x 2

világos, hogy az inverz függvény a pozitív számokon értelmezett

x

$\mapsto$ $\mbox{ }_{\sqrt{x}}$

Ha megelégszünk a függvények hatványsor előállításával, azaz ha az analitikus függvényekre szorítkozunk, akkor az inverznek megadhatjuk a konkrét hatványsor előállítását.

Tétel – Inverzfüggvény-tétel analitikus valós-valós függvényre – Ha az f valós-valós függvény analitikus az értelmezési tartománya egy u pontjában, és ott a deriváltja nem nulla, akkor u-nak létezik olyan U nyílt környezete az f értelmezési tartományában, hogy ott f invertálható, $f | U$ analitikus diffeomorfizmus U és f(U) között és az inverz alakja minden y ∈ f(U)-ra:

$\mbox{ }_{f^{-1}(y)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(f^{-1})^{(n)}(f(u))}{n!}(y-f(u))^n}$

Tehát csak az inverz f(u)-beli magasabbrendű deriváltjaira van szükségünk konkrét alakjának felírásához, melyet a deriválási képletek szerint könnyen kiszámíthatunk.

[szerkesztés] Példa

Az x $\mapsto$ tg x függvény analitikus és a (-π/2,π/2) minden pontjában teljesíti az inverzfüggvény-tétel feltételeit, tehát van analitikus inverze. Ennek deriváltja az ismert:

$g'(y)=\mathrm{arc}\,\mathrm{tg}'(y)=\frac{1}{1+y^2}$

képlettel számolandó (magát ezt a formulát az inverzfüggvény deriválásáról szóló képlet alapján már ismerhetjük). Ekkor $\mbox{ }_{g'(y)\,}$ Taylor-sorba fejthető a 0 körül a geometriai sor segítségével és ez a (-1,1) intervallumban konvergens is lesz: