Función recíproca
De Wikipedia, la enciclopedia libre
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.
Tabla de contenidos |
[editar] Definiciones formales
Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:
Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
- y
- .
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
[editar] Definiciones alternativas
Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
- y
- ,
entonces:
- Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
- Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
- Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.
[editar] Propiedades algebraicas
- La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula
- Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
- La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:
- Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y .
[editar] Propiedades analíticas de funciones reales de una variable
[editar] Continuidad
- f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
-
- Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
- Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
[editar] Grafo de la función inversa
- Los grafos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
- Las tangentes en M y M' tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.
[editar] Derivabilidad
- f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
-
- Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).
[editar] Ejemplos
Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" con dominio los reales no negativos, . Más generalmente, la raíz de orden n es la recíproca de . También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo.
Por definicipendejadasón misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:
Para f(x) = cos(x) = y, g(y) = f − 1(y) = arccos(y), y utilizando cos2(x) + sin2(x) = 1 se obtiene:
Para f(x) = tan(x) = y, g(y) = f − 1(y) = arctan(y), y utilizando tan'(x) = 1 + tan2(x) se obtiene:
Se generaliza las pendejadas ke agantodos eses el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.