Inverzna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Inverzna funkcija (kratko tudi inverz) je v matematiki funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija f. Inverz funkcije f označimo f ⁻¹.

Graf inverzne funkcije dobimo tako, da graf prvotne funkcije prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov (premico y = x.

Funkcija f: A → B ima inverz samo, če je bijektivna. V tem primeru je inverz funkcija f ⁻¹: B → A, ki je tudi bijektivna. Če funkcija f preslika element x v y, potem inverzna funkcija f ⁻¹ preslika y v x.

$f(x)=y \iff x=f^{-1}(y)$

Zgledi:

funkcija, ki deluje obratno kot prištevanje 3, je odštevanje 3:

$f(x)=x+3 \iff f^{-1}(x)=x-3$

funkcija, ki deluje obratno kot množenje s 3, je deljenje s 3:

$f(x)=3x \iff f^{-1}(x)=\frac{x}{3}$

funkcija, ki deluje obratno kot potenciranje na 3, je tretji koren:

$f(x)=x^3 \iff f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$

Če izračunamo kompozitum funkcije f in njenega inverza (v poljubnem vrstnem redu), dobimo identično funkcijo:

$f\circ f^{-1}=id$

$f^{-1}\circ f=id$

Oziroma drugače zapisano:

$f(f^{-1}(x))=x\,$

$f^{-1}(f(x))=x\,$

[uredi] Delni inverz

Kvadratni koren je delni inverz kvadriranja (je inverz samo za nenegativne vrednosti x).

Če funkcija f: A → B ni bijektivna, inverz ne obstaja. V takem primeru pogosto množici zožimo (nadomestimo s podmnožicama A₁ in B₁) tako, da je dobljena funkcija f: A₁ → B₁ bijektivna. Dobljena funkcija ima inverz, vendar samo v okviru zoženih množic A₁ in B₁. Tak inverz imenujemo delni inverz.

Zgled: Funkcija f(x) = x² ni bijektivna funkcija $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ in zato nima inverza. Če se omejimo samo na nenengativna števila, pa ugotovimo, da je ta ista funkcija bijektivna kot funkcija $f:\mathbb{R}^+_0\to\mathbb{R}^+_0$ . V tem smislu obstaja tudi inverz, ki je enak $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ .