Derivasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Kalkulus
Grenseverdier Derivasjon Integrasjon
Komplekse funksjoner

Derivasjon er i matematikken ett av to sentrale emner innen matematisk analyse. Det andre er integrasjon.

Den deriverte angir den momentane endringen til en funksjon. For reelle funksjoner av en variabel kalles denne verdien for funksjonens stigningstall. Stigningstallet er definert som stigningen til tangenten til funksjonen i punktet og kan estimeres ved hjelp av sekanter. Ikke alle funksjoner er deriverbare overalt. For eksempel: For en funksjon som er diskontinuerlig eller har en loddrett tangent i et punkt, vil den deriverte være udefinert for dette punktet.

[rediger] Terminologi

Diskontinuerlig; en funksjon som har ett eller flere vedier hvor den ikke er definert.
Kritisk punkt; et punkt hvor den deriverte er lik 0.
Lokalt max/min punkt; et eller flere kritiske punkter som har de høyeste eller laveste verdiene innenfor et begrenset definisjonsområde.
Absolutt max/min punkt; et eller flere kritiske punkter som har de høyeste eller laveste verdiene, for alle deffinerbare verdier. Absolutte max/min punkter kan i mange tilfeller ikke eksistere i det hele tatt f.eks.:
$\mbox{f(x)} = \frac{1}{x} \mbox{, } x \isin ( 0, \infin )$

[rediger] Notasjon

[rediger] Lagranges notasjon

For en reell funksjon av en variabel, $\ f(x)$ , er det vanlig å skrive $\ f '(x)$ , $\ f''(x)$ , $\ f'''(x)$ og $\ f^{(n)}(x)$ , $\ n\geq4$ , for henholdsvis første-, andre-, tredje- og høyere-ordens deriverte.

[rediger] Leibniz' notasjon

I Leibniz' notasjon brukes symbolet $\frac{d}{dx}$ for derivasjon med hensyn på $\ x$ . Vi skriver da $\frac{df(x)}{dx}$ eller $\frac{df}{dx}(x)$ for den deriverte til $\ f(x)$ . De høyere ordens deriverte skrives $\frac{d^nf(x)}{(dx)^n}$ eller $\frac{d^nf}{(dx)^n}(x)$ . Ideen bak denne notasjonen er at differensialene $\ df$ og $\ dx$ representerer «infinitesimale endringer» i verdiene til henholdsvis $\ f$ og $\ x$ .

[rediger] Newtons notasjon

Newtons notasjon brukes innen fysikk og mekanikk, og spesielt når variabelen betegner tid. I denne notasjonen skrives derivasjon ved å sette prikker over funksjonen. For eksempel hvis $\ x$ er en funksjon av $\ t$ , så er $\dot{x}$ og $\ddot{x}$ henholdsvis den første- og andre-deriverte av $\ x$ .

[rediger] Eulers notasjon

I Eulers notasjon er ideen å tenke på derivasjon som en operator som virker på funksjoner. Derivasjonsoperatoren betegnes ved bokstaven $\ D$ , og vi skriver $\ Df(x)$ , $\ D^2f(x)$ , $\ D^3f(x)$ og $\ D^nf(x)$ for henholdsvis første-, andre-, tredje- og høyere-ordens deriverte. Dersom en ønsker å presisere at derivasjonen tas med hensyn på variabelen $\ x$ kan en skive $\ D_xf(x)$ .

[rediger] Å finne den deriverte

Ofte vil en funksjon $\ f(x)$ være gitt ved en formel, bygget opp fra kjente funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning. Derivasjonsreglene forteller oss sammenhengene mellom den deriverte til formelen og de deriverte til bestanddelene. Deretter søker man i listen over derivasjonsformler for å finne de deriverte til bestanddelene (de kjente funksjonene som inngår i formelen).

[rediger] Derivasjonsregler

Anta at funksjonene $\ f$ og $\ g$ er deriverbare i punktet $\ x$ og at $\ c$ er en konstant. Da er også $\ cf$ , $\ f+g$ , $\ f-g$ , $\ f\cdot g$ og $\frac{f}{g}$ (forutsatt at $\ g(x)\neq 0$ ) også deriverbare i $\ x$ , og den deriverte er gitt ved:

$\ (cf)'(x)=c\cdot f'(x)$
$\ (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$
$\ (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$
Produktregelen: $\ (f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
Kvotientregelen: $\ (\frac{f}{g})'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

Kjerneregelen: Anta at $\ g$ er deriverbar i $\ x$ og $\ f$ er deriverbar i $\ g(x)$ . Da er den sammensatte funksjonen $\ h=f\circ g$ gitt ved $\ h(x)=f(g(x))$ også deriverbar i $\ x$ og den deriverte er gitt ved:

$\ h'(x)=(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Den deriverte til den omvendte funksjonen: Anta at $\ f$ er en kontinuerlig, strengt monoton funksjon, som er deriverbar i punktet $\ x$ med $\ f'(x)\neq0$ . Da er den omvendte funksjonen $\ g=f^{-1}$ deriverbar i $\ y=f(x)$ og vi har

$\ g'(y)=\frac{1}{f'(x)}$ .

[rediger] Liste over derivasjonsformler

Generelle tilfeller

For en konstant $\ c$ er $\frac{\,d}{\,dx}\,c=0$ .
$\frac{d}{dx}x=1$
$\frac{d}{dx}x^2=2x$
$\frac{d}{dx}x^3=3x^2$
$\frac{\,d}{\,dx}ax^n = nax^{n-1}$
$\frac{d}{dx}\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}$
$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

For eksponentielle funksjoner

$\frac{\,d}{\,dx}e^x = e^x$ hvor $\ e$ er Eulers tall.
$\frac{d}{\,dx}a^x = a^x \ln a$ hvor $\ a>0$ .

For logaritmiske funksjoner

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$ for $\ x>0$ , her er $\ \ln$ den naturlige logaritmen.
$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$ for $\ x>0$ .

For trigonometriske funksjoner

$\frac{\,d}{\,dx}\sin x=\cos x$
$\frac{\,d}{\,dx}\cos x = -\sin x$
$\frac{\,d}{\,dx}\tan x = \sec^2 x$
$\frac{\,d}{\,dx}\csc x = -\csc x\cot x$
$\frac{\,d}{\,dx}\sec x = \sec x \tan x$
$\frac{\,d}{\,dx}\cot x = -\csc^2 x$

For omvendte trigonometriske funksjoner

$\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$

For hyperbolske funksjoner

$\frac{d}{dx}\sinh(x)=\cosh(x)$
$\frac{d}{dx}\cosh(x)=\sinh(x)$
$\frac{d}{dx}\tanh(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}$
$\frac{d}{dx}\coth(x)=-\frac{1}{\sinh^2(x)}$

For omvendte hyperbolske funksjoner

$\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx}\operatorname{artanh}(x)=\frac{1}{1-x^2}$

[rediger] Eksempler

Eksempel 1

La $\ f(x)=3x^2-2x+1$ . Vi finner den deriverte ved å bruke derivasjonsreglene for sum og differanse:

$\begin{matrix}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}(3x^2-2x+1)\\&=\frac{d}{dx}(3x^2)-\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}1 \\&=3\frac{d}{dx}x^2-2\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}1 \\&=3\cdot2x-2+0\\ &=6x-2\end{matrix}$

Eksempel 2

La $\ f(x)=\sin(x)e^{\cos(x)}$ . Her må vi bruke produktregelen og kjerneregelen:

$\begin{matrix}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}(\sin(x)e^{\cos(x)})\\&= (\frac{d}{dx}\sin(x))e^{\cos(x)}+\sin(x)\frac{d}{dx}(e^{\cos(x)})\\&= \cos(x)e^{\cos(x)}+\sin(x)e^{\cos(x)}\frac{d}{dx}(\cos(x))\\&= \cos(x)e^{\cos(x)}+\sin(x)e^{\cos(x)}(-\sin(x))\\&= (\cos(x)-\sin^2(x))e^{\cos(x)}\end{matrix}$

[rediger] Bruk av derivasjon i graftegning

Derivasjon har en anvendelse når en skal tegne grafer for funksjoner, ved at det kan benyttes til å finne tangenter, ekstrempunkter og vendepunkter.

[rediger] Å finne tangenten til $\ f(x)$ i et punkt

Hvis $\ f$ er deriverbar i $\ x=a$ , så er ligningen for tangenten til $\ f$ i $\ a$ gitt ved:

$\ y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

[rediger] Ekstremalpunkt

Kandidater til minimums- og maksimums-punkt er de $\ x$ hvor $\ f'(x)=0$ .

[rediger] Vendepunkt

Kandidater til vendepunkt er de $\ x$ hvor $\ f''(x)=0$ .

[rediger] Krumning

Grafen til $\ f$ krummer oppover når $\ f''(x)>0$ , og grafen krummer nedover når $\ f''(x)<0$ .

[rediger] Teori for derivasjon

[rediger] Definisjon

Hovedideen bak definisjonen av den deriverte er at $f'(x 0)$ er stigningstallet til tangenten til grafen av $f$ i punktet $(x 0, f (x 0))$ , og at sekanten gjennom punktene $(x 0, f (x 0))$ og $(x 0 + Δ x, f (x 0 + Δ x))$ er en god tilnærming til denne tangenten når $Δ x$ går mot $0$ . Stigningstallet til sekanten er gitt ved:

$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

og vi definerer den deriverte av $f$ i $x 0$ til å være grenseverdien

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

dersom denne grenseverdien eksisterer, og vi skriver da $f'(x 0)$ for dette tallet. Hvis grenseverdien ikke eksisterer er funksjonen $f$ ikke deriverbar i $x 0$ .

[rediger] Deriverbar funksjon

En funksjon $f$ kalles deriverbar i punktet $x 0$ dersom $f'(x 0)$ eksisterer. En funksjon kalles deriverbar dersom den er deriverbar i alle punkt i definisjonsmengden. En funksjon $f$ kalles $C 1$ dersom den deriverte $f'$ er en kontinuerlig funksjon.

[rediger] Middelverdisetningen

Dersom $f:\left[a,b\right]\rightarrow\R$ er en kontinuerlig funksjon, og deriverbar på det åpne intervallet $\left(a,b\right)$ , så finnes et punkt $c$ mellom $a$ og $b$ slik at:

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

[rediger] Flere momenter som bør utdypes

Historikk
Reelle funksjoner av flere variable
Komplekse funksjoner
Differensialgeometri
Derivasjon i en ring eller kropp
Logaritmisk derivasjon
Implisitt derivasjon
Persiell derivasjon

[rediger] Eksterne lenker

Hovedområder i matematikk

Generelle emner • Algebra • Analyse • Anvendt matematikk • Geometri • Statistikk • Skolematematikk

Kategorier: Matematisk analyse | Funksjoner

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Derivasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Innhold

[rediger] Terminologi

[rediger] Notasjon

[rediger] Lagranges notasjon

[rediger] Leibniz' notasjon

[rediger] Newtons notasjon

[rediger] Eulers notasjon

[rediger] Å finne den deriverte

[rediger] Derivasjonsregler

[rediger] Liste over derivasjonsformler

[rediger] Eksempler

[rediger] Bruk av derivasjon i graftegning

[rediger] Å finne tangenten til $\ f(x)$ i et punkt

[rediger] Ekstremalpunkt

[rediger] Vendepunkt

[rediger] Krumning

[rediger] Teori for derivasjon

[rediger] Definisjon

[rediger] Deriverbar funksjon

[rediger] Middelverdisetningen

[rediger] Flere momenter som bør utdypes

[rediger] Eksterne lenker

Views

Navigasjon

prosjektrelatert

Søk

Andre språk

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Derivasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Innhold

[rediger] Terminologi

[rediger] Notasjon

[rediger] Lagranges notasjon

[rediger] Leibniz' notasjon

[rediger] Newtons notasjon

[rediger] Eulers notasjon

[rediger] Å finne den deriverte

[rediger] Derivasjonsregler

[rediger] Liste over derivasjonsformler

[rediger] Eksempler

[rediger] Bruk av derivasjon i graftegning

[rediger] Å finne tangenten til i et punkt

[rediger] Ekstremalpunkt

[rediger] Vendepunkt

[rediger] Krumning

[rediger] Teori for derivasjon

[rediger] Definisjon

[rediger] Deriverbar funksjon

[rediger] Middelverdisetningen

[rediger] Flere momenter som bør utdypes

[rediger] Eksterne lenker

Views

Navigasjon

prosjektrelatert

Søk

Andre språk

[rediger] Å finne tangenten til $\ f(x)$ i et punkt