Odvod
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.
Vsebina |
[uredi] Diferenciacija in izpeljava
[uredi] Definicija z diferenčnim količnikom
Naj bo y = f(x) funkcija xa.
Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta ko je sekanta vedno bližje tangenti.
Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:
diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).
[uredi] Zveznost in odvedljivost
[uredi] Odvod kot funkcija
[uredi] Višji odvodi
[uredi] Zapisovanje odvoda
[uredi] Leibnizov zapis
Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.
Višje odvode zapišemo kot
za n-ti odvod funkcije y=f(x).
[uredi] Lagrangeev zapis
Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .
[uredi] Newtonov zapis
Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo
Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen odvod po času.
[uredi] Eulerjev zapis
Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.
[uredi] Računanje odvoda
[uredi] Pravila za sestavljanje funkcij
- odvod vsote:
- odvod produkta:
- odvod količnika:
- odvod kompozituma:
[uredi] Odvodi elementarnih funkcij
- odvod konstante: če je f(x) = c (konstanta), potem
- odvod potence: če je , kjer je r realno število, potem
- ,
Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.
- odvod eksponentne funkcije:
- Naravna eksponentna funkcija se pri odvajanju ne spremeni: .
- V splošnem pa je odvod funkcije enak .
- odvod logaritemske funkcije:
- Naravna logaritemska funkcija ima odvod .
- V splošnem je odvod logaritemske funkcije enak .
[uredi] Odvajanje v višjih razsežnostih
[uredi] Odvajanje vektorskih funkcij
[uredi] Parcialno odvajanje
[uredi] Smerni odvod
Naj bo n skalarno polje in nek vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja .
Ogledamo si izraz
Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri
Sledi
-
- pri čemer je enotski vektor.
Torej
- enostki
[uredi] Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial
Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:
[uredi] Posplošitve
[uredi] Glej tudi
[uredi] Zunanje povezave
- http://www.e-studij.si/Odvod
- WIMS Function Calculator makes online calculation of derivatives; this software also enables interactive exercises.
- ADIFF online symbolic derivatives calculator.
Slovarske definicije v Wikislovarju
Učbeniki v Wikiknjigah
Navedki v Wikinavedku
Izvorna besedila v Wikiviru
Slike, zvok in animacije v Zbirki