Derivada

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em Matemática, diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma recta. O declive de uma tal recta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por

$f'(a)\,$ ou por $\frac{df}{dx}(a)$ .

Assim, por exemplo, se se considerar a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem-se ver na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de recta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Gráfico de uma função derivável.

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura ao lado.

Gráfico da função módulo, que não é derivável em

0

Índice

1 Definições formais
2 Exemplos
3 Propriedades das funções deriváveis
- 3.1 Derivabilidade num ponto
- 3.2 Derivabilidade em todo o domínio
4 Funções continuamente deriváveis
5 Derivadas de ordem superior
6 Pontos críticos ou estacionários
7 Derivadas notáveis
8 Funções com valores em Rⁿ
9 Funções de uma variável complexa
10 Física
11 Usando derivadas para desenhar gráficos de funções
12 Derivadas parciais
13 Referências
14 Ligações externas

[editar] Definições formais

Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto R dos números reais e seja f uma função de I em R. Se a ∈ I, diz-se que f é derivável em a se existir o limite

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$ .

Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.

Inclinação da secante ao gráfico de f

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

$\frac{f(x+h)-f(x)}h$ .

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φ_a de I em R contínua em a tal que

$(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a)$ .

Então define-se a derivada de f em a como sendo φ_a(a).

Diz-se que f é derivável se for derivável em todos os pontos do domínio.

[editar] Exemplos

Se $c$ ∈ R, a função $f$ de R em R definida por $f (x) = c$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $0$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{c-c}{x-a}=0$ .

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $φ a$ de R em R por $φ a (x) = 0$ , então $φ a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$c=c+0.(x-a)=c+\varphi_a(x).(x-a)$ ;

além disso, $f'(a) = φ a (a) = 0$ .

A função $f$ de R em R definida por $f (x) = x$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $1$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}=1$ .

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $φ a$ de R em R por $φ a (x) = 1$ , então $φ a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$x=a+1.(x-a)=a+\varphi_a(x).(x-a)$ ;

além disso, $f'(a) = φ a (a) = 1$ .

A função $f$ de R em R definida por $f (x) = x 2$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto $a$ ∈ R é igual a $2 a$ , pois:

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}x+a=2a$ .

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $φ a$ de R em R por $φ a (x) = x + a$ , então $φ a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$x^2=a^2+(x^2-a^2)=a^2+\varphi_a(x).(x-a)$ ;

além disso, $f'(a) = φ a (a) = 2 a$ .

A função módulo de R em R não é derivável em $0$ pois

$(\forall x\in\mathbb{R}):\frac{|x|-|0|}{x-0}=\begin{cases}1&\text{ se }x>0\\-1&\text{ se }x<0\end{cases}$

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em $a$ é igual a $1$ quando $a > 0$ e é igual a $- 1$ quando $a < 0$ .

[editar] Propriedades das funções deriváveis

[editar] Derivabilidade num ponto

Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função de $I$ em R derivável em $a$ . Então $f$ é contínua em $a$ . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e sejam f e g funções de I em R deriváveis em a. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(a) ≠ 0) f / g também são deriváveis em a e
- $(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)$
- $(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,$
- $(f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$

Em particular, se $c$ ∈ R, então $(c . f)' = c . f'$ . Resulta daqui e de se ter $(f + g)' = f' + g'$ que a derivação é uma aplicação linear.

Sejam $I$ e $J$ intervalos de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ , seja $f$ uma função de $I$ em $J$ derivável em $a$ e seja seja $g$ uma função de $J$ em R derivável em $f (a)$ . Então $g$ o $f$ é derivável em $a$ e

$(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)$ .

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função contínua de $I$ em R derivável em $a$ com derivada não nula. Então a função inversa $f - 1$ é derivável em $f (a)$ e

$(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}\cdot$

Outra maneira de formular este resultado é: se $a$ está na imagem de $f$ e se $f$ for derivável em $f - 1 (a)$ com derivada não nula, então

$(f^{-1})'(a)=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(a)\bigr)}\cdot$

[editar] Derivabilidade em todo o domínio

Uma função derivável $f$ de $I$ em R é constante se e só se a derivada for igual a $0$ em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
Uma função derivável $f$ de $I$ em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a $0$ em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.

Uma função cuja derivada seja sempre maior que $0$ é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor $0$ em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por $f (x) = x 3$ . Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.

Se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, sendo $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, então $f'(I)$ também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se $f$ for uma função derivável de $[a, b]$ em R e se $y$ for um número real situado entre $f'(a)$ e $f'(b)$ (isto é, $f'(a)$ ≤ $y$ ≤ $f'(b)$ ou $f'(a)$ ≥ $y$ ≥ $f'(b)$ ), então existe algum $c$ ∈ $[a, b]$ tal que $f'(c) = y$ . Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

[editar] Funções continuamente deriváveis

Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto e seja $f$ uma função de $I$ em R. Diz-se que $f$ é continuamente derivável ou de classe $C 1$ se $f$ for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}x^2\mathop{\mathrm{sen}}(\frac1x)&\text{ se }x\neq0\\0&\text{ se }x=0\text{,}\end{cases}\end{array}$

pois o limite $\lim_{x\rightarrow0}f'(x)$ não existe; em particular, f' não é contínua em $0$ .

[editar] Derivadas de ordem superior

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos-nos referir às derivadas subsequentes de f por:

$\frac{df}{dx},\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right),\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\right)$

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregue é:

$\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3}$

ou alternativamente,

$f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)$

ou ainda

$f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)$

Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f^(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe C^k.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C^∞.

[editar] Pontos críticos ou estacionários

Ver artigo principal: Ponto crítico

Pontos onde a derivada da função é igual a $0$ chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem quatro tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a inclinação da reta tangente é paralela ao eixo dos $x$ . Estes pontos podem acontecer:

onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
em pontos de inflexão da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função $f (x) = x 3$ : no ponto $x = 0$ a função tem um ponto de inflexão.
em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função $f(x) = x^3 sin(1/x)\,$

Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também a segunda derivada de $f (x)$ :

Se a segunda derivada de $f$ é positiva no ponto onde a primeira derivada é nula, então o ponto é um mínimo local.
Se a segunda derivada for negativa, o ponto em questão é um máximo local.

Se a derivada segunda também for nula, nada se pode concluir. No entanto, se $a$ for o ponto em questão e se existir algum número $n$ ∈ N tal que

$f (k) (a) = 0$ se $k$ ∈ { $1,2,$ … $n - 1$ };
$f (n) (a)$ ≠ $0$ ,

então:

$f$ tem um máximo local em $a$ se $n$ for par e $f (n) (a) < 0$ ;
$f$ tem um máximo local em $a$ se $n$ for par e $f (n) (a) > 0$ ;
$f$ tem um ponto de inflexão em $a$ se $n$ for ímpar.

[editar] Derivadas notáveis

[editar] Exponencial e logaritmo

A derivada da função exponencial é ela própria, ou seja, $exp' = exp$ .
Para cada $x > 0$ , $log'(x) = 1 / x$ , onde $log$ é o logaritmo natural.

Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade $exp' = exp$ e da fórmula para a derivada da inversa que

$(\forall x>0):\log'(x)=(\exp^{-1})'(x)=\frac1{\exp'\bigl(\exp^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{\exp(\log(x))}=\frac1x\cdot$

Reciprocamente, se se suposer que, para cada $x > 0$ , $log'(x) = 1 / x$ , então

$\exp'(x)=(\log^{-1})'(x)=\frac1{\log'\bigl(\log^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{1/\exp(x)}=\exp(x).$

[editar] Funções trigonométricas

$\operatorname{sen}'=\cos\,$ ;
$\cos'=-\operatorname{sen}\,$ ;
$\tan'=1+\tan^2=\sec^2\,$ ;
$\cot'=-1-\cot^2=-\csc^2\,$ .

Mais uma vez, estas igualdades não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co-seno e da fórmula para a derivada do quociente:

$\tan'=\left(\frac{\operatorname{sen}}\cos\right)'=\frac{\cos.\operatorname{sen}'-\operatorname{sen}.\cos'}{\cos^2}=\frac{\cos^2+\operatorname{sen}^2}{\cos^2}=\left\{\begin{array}{l}\frac1{\cos^2}=\sec^2\\\frac{\cos^2}{\cos^2}+\frac{\operatorname{sen}^2}{\cos^2}=1+\tan^2.\end{array}\right.$

[editar] Funções trigonométricas inversas

$(\forall x\in]-1,1[):\operatorname{arcsen}'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ ;
$(\forall x\in]-1,1[):\operatorname{arccos}'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ ;
$(\forall x\in\mathbb{R}):\arctan'(x)=\frac1{1+x^2}$ ;
$(\forall x\in\mathbb{R}):\operatorname{arccot}'(x)=-\frac1{1+x^2}\cdot$

Todas estas igualdades resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

[editar] Funções com valores em R $n$

Se $I$ for um intervalo de R com mais do que um ponto e se $f$ for uma função de $I$ em R $n$ , para algum número natural $n$ , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo exemplo a função

$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array}$

é derivável e

$(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).$

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

[editar] Funções de uma variável complexa

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

[editar] Física

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:

Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.

Posto de outro modo:

$\begin{align}v(t)&=\frac{ds}{dt}\\a(t)&=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\end{align}$

Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32.

Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

[editar] Usando derivadas para desenhar gráficos de funções

As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).

Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.

[editar] Derivadas parciais

Ver artigo principal: Derivada parcial

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função quando todas menos uma variável são mantidas constantes temporariamente. Derivadas parciais relativamente à variável x são representadas como ∂/∂x.

[editar] Referências

Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981

[editar] Ligações externas

Categoria: Análise matemática

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Derivada

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Índice

[editar] Definições formais

[editar] Exemplos

[editar] Propriedades das funções deriváveis

[editar] Derivabilidade num ponto

[editar] Derivabilidade em todo o domínio

[editar] Funções continuamente deriváveis

[editar] Derivadas de ordem superior

[editar] Pontos críticos ou estacionários

[editar] Derivadas notáveis

[editar] Exponencial e logaritmo

[editar] Funções trigonométricas

[editar] Funções trigonométricas inversas

[editar] Funções com valores em R $n$

[editar] Funções de uma variável complexa

[editar] Física

[editar] Usando derivadas para desenhar gráficos de funções

[editar] Derivadas parciais

[editar] Referências

[editar] Ligações externas

Views

Navegação

colaboração

Busca

Outras línguas

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Derivada

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Índice

[editar] Definições formais

[editar] Exemplos

[editar] Propriedades das funções deriváveis

[editar] Derivabilidade num ponto

[editar] Derivabilidade em todo o domínio

[editar] Funções continuamente deriváveis

[editar] Derivadas de ordem superior

[editar] Pontos críticos ou estacionários

[editar] Derivadas notáveis

[editar] Exponencial e logaritmo

[editar] Funções trigonométricas

[editar] Funções trigonométricas inversas

[editar] Funções com valores em Rn

[editar] Funções de uma variável complexa

[editar] Física

[editar] Usando derivadas para desenhar gráficos de funções

[editar] Derivadas parciais

[editar] Referências

[editar] Ligações externas

Views

Navegação

colaboração

Busca

Outras línguas

[editar] Funções com valores em R $n$