Teorema de Darboux

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Em análise real, o teorema de Darboux, cujo nome se refere ao matemático francês Gaston Darboux, afirma que as derivadas de funções deriváveis satisfazem a propriedade dos valores intermédios: a imagem de um intervalo é novamente um intervalo.

[editar] Enunciado

Seja I um intervalo de R e seja f uma função derivável de I em R. Então f′(I) é um intervalo de R.

Uma maneira equivalente de formular a conclusão do teorema é: se a,b ∈ I e se y ∈ R for tal que y está entre f′(a) e f′(b) (ou seja, f′(a) ≤ y ≤ f′(b) ou f′(a) ≥ y ≥ f′(b)), então existe algum c entre a e b tal que f′(c) = y.

Também se pode centrar o enunciado em f′ e não em f, ficando:

Seja I um intervalo de R e seja f uma função primitivável de I em R. Então f(I) é um intervalo de R.

Vê-se então que este teorema generaliza o teorema dos valores intermédios pois, pelo teorema fundamental do Cálculo, qualquer função contínua é primitivável. Por outro lado, há funções primitiváveis que são descontínuas. É o caso, por exemplo, da derivada da função

cuja derivada é descontínua por não existir o limite de f′(x) quando x tende para 0. Então f′ é primitivável (e, portanto, envia intervalos em intervalos), apesar de não ser contínua.

[editar] Demonstração

Vai-se começar por fazer a demonstração no caso em que y = 0 e em que f′(a) ≥ 0 ≥ f′(b). Quer-se então provar que f′(c) = 0, para algum c entre a e b. Naturalmente, se f′(a) = 0 ou f′(b) = 0 então nada há a provar. Vai-se agora supor que f′(a) > 0 > f′(b).

Resulta de se ter f′(a) > 0 e da definição de derivada que existe algum d entre a e b tal que f(d) > f(a). Pelo mesmo argumento, que existe algum d′ entre a e b tal que f(d′) > f(b). Por outro lado, a restrição a [a,b] da função f tem um máximo em algum ponto c (pelo teorema de Weierstrass) e, pelo que foi visto, c não pode ser igual a a nem a b. Logo f′(c) = 0.

O caso em que y = 0 e em que f′(a) ≤ 0 ≤ f′(b) é análogo.

Finalmente, o caso geral resulta dos casos particulares já demonstrados aplicados à função g definida por g(x) = f(x) − y.x.

[editar] Referências

• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
• Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981