Discussione:Formula di Eulero
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
|
|||||||||||||||
La dimostrazione analitica non mi sembra corretta: l'integrale di un a funzione complessa (1/z) rispetto ad una variabile complessa viene trattato come se fosse un integrale in R. E' comunque vero che la soluzione di dz/dx=iz è exp(ix), ma non credo si possa dimostrare in quel modo.--Pokipsy76 20:43, 28 feb 2006 (CET)
In effetti int(1/Z) non è definito se prima non viene specificata una curva parametrica su cui integrare; è proprio il concetto di 'primitiva' e di integrale indefinito ad essere piuttosto debole nel caso complesso, dipende infatti dalla scelta di tale curva. Per motivi analoghi il logaritmo complesso (che, tra l'altro viene definito esplicitamente proprio grazie alla formula di Eulero) non è una funzione ma un insieme di valori! Tu sostieni che ln1=C implica C=0, ma ciò non è esatto: senz'altro exp(0)=1 ma anche exp(i*2pi)=cos2pi+i*sen2pi=1 proprio in virtù della nostra formula magica. Credo che la dimostrazione analitica più calzante sia la 3.
Scusate era il mio primo commento, aggiungo la firma. --Mr 3 7 17:17, 25 ago 2006 (CEST)
Scusate la pedanteria ma la voce, almeno nella sezioni delle dimostrazioni mi sembra fatta piuttosto male. La "dimostrazione usando le coordinate polari" è sostanzialmente errata sia nelle affermazioni fatte che nel proposito della dimostrazione. Ciò che si premette, ovvero che dato un complesso s si ha re^itheta=s per opportuni r e theta si può dimostrare solo grazie alla formula di eulero che pertanto vien provata usando assiomaticamente una sua conseguenza! Per quanto riguarda l'aspetto tecnico alcune altre cose non vanno:
-i seni e i coseni erano invertiti, ho provveduto a rimetterli apposto.
-se a=0 (e non b=0, come affermato, dato che arctg 0=0) arctg b/a -> +pi/2 o -pi/2. Un numero puramente immaginario nella forma ib ha argomento pi/2 nella sua rappresentazione polare (ovvero coerentemente giace sull'asse immaginario del piano di Gauss) con segno positivo o negativo a seconda del segno di b.
-Un numero reale ha una rappresentazione polare tramite la formula di eulero! La frase "la formula di eulero vale solo per numeri complessi (non per il sottoinsieme dei numeri reali)" è quantomeno ambigua. La formula di eulero stabilisce l'uguaglianza tra l'esponenziale di un numero puramente immaginario (ib, b \in R, tra cui c'è anche 0, che è reale) e una funzione complessa, ma ciò non significa che un numero reale non si possa scrivere mediante la formula di Eulero (OGNI numero reale r si scrive nella forma r=re^i2kpi, k \in Z, in particolare 1=e^i0)!
-nella dimostrazione implicitamente si conclude che l'uguaglianza tra (1) e (2) vale solo per -pi/2<theta<pi/2 dato che arctg ha tale intervallo per immagine, mentre sappiamo valere per ogni theta reale.
Vorrei un po' di feedback, credo che la cosa migliore sia eliminare le due sezioni indicate...--Mr 3 7 11:39, 29 ago 2006 (CEST)
L'integrale curvilineo di una funzione analitica non dipende dalla curva di integrazione e si può anche dimostrare che una funzione analitica ammette una primitiva pertanto è corretto trattare l'integrale in dz della dimostrazione analitica 1 come un integrale in R. A questo proposito ho intenzione infatti di sistemare alcuni articoli di analisi complessa.
Io lascerei quindi al suo posto la dimostrazione analitica 1.
Per quanto riguarda la dimostrazione "dal passaggio in coordinate polari" concordo pienamente nell'eliminarla del tutto.
Già ma la funzione 1/z che si sta integrando non è olomorfa su C ma su C\0... perché valga ciò che tu dici dobbiamo metterci in un aperto semplicemente connesso, cosa che C\0 non è. Effettivamente le mie osservazioni precedenti erano un pò grossolane...correggo il tiro, ma l'obiezione rimane. Non essendo C\0 semplicemente connesso non è possibile definire su di esso una primitiva globale di 1/z (il logaritmo); l'aperto semplicemente connesso massimale su cui è possibile far ciò è U=C\una semiretta dall'origine. Pertanto la relazione ricavata nella dimostrazione analitica 1 non vale per ogni z \in C ma solo su U mentre sappiamo che la relazione di Eulero è definita globalmente. Il problema è, come diceva il primo a intervenire, che si sta trattando l'integrale in questione come un integrale di varibile reale. Che ne pensi? Ho eliminato l'altra sezione.--Mr 3 7 11:20, 29 nov 2006 (CET)
Proprio perché la funzione è analitica in C\0 essa ammette una primitiva in C\0 e l'integrale può essere trattato come un normale integrale di variabile reale. Data infatti una funzione analitica f(z), dal teorema di Cauchy si ricava che esiste una funzione F(z) tale che dF(z)/dz = f(z) dove la derivata è calcolata come una normale derivata di variabile reale, e risulta essere F(z) = ∫f(t)dt dove l'integrale è calcolato tra un fissato z0 e z su una qualsiasi curva interamente compresa nella regione di analicità. Il fatto che l'integrale non sia poi definito in z = 0 non è un problema. E poi l'esponenziale complesso non è mai uguale a zero. --Hybridslinky 20:31, 30 nov 2006 (CET)
Una funzione analitica ammette una primitiva in ogni dominio SEMPLICEMENTE CONNESSO contenuto nella regione di analiticità; C\0 non lo è. dividendo un cappio intorno all'origine in due cammini aventi stessi estremi questi non risultano essere omotopi ed il teorema di Cauchy si applica solo per cammini omotopi (cioè deformabili uno nell'altro con continuità). Riprova di questo fatto è che l'integrale di 1/z su S^1 è 2pi*i, quindi diverso da zero, e sappiamo che condizione necessaria per avere una primitiva di una funzione è che questo sia zero per ogni curva chiusa (i.e. l'integrale dipenda solo dagli estremi). 1/z non ammette primitiva in nessun aperto contenente l'origine, pertanto non ammette nessuna primitiva globale nel suo dominio di definizione, ovvero non esiste una funzione F t.c d/dz F(z)=1/z \forall z \in C\0. L'aperto semplicemente connesso MASSIMALE su cui su si può definire globalmente una primitiva è C\una semiretta dall'origine. Ti prego di verificare su un testo. E' senz'altro vero che possiamo trovare primitive nel modo che tu descrivi per ogni aperto non contenente l'origine (che sono infatti regioni semplicemente connesse contenute nell'area di analiticità), ma nel far ciò, sempre seguendo il ragionamento della dimostrazione dobbiamo, ad esempio, ipotizzare z t.c. Re(z)>0 il che limita la formula finale a tali valori di z. Magari si può modificare tutto in modo che funzioni, magari definendo due determinazioni diverse del logaritmo e trattare caso per caso, non lo so, ma scritto così l'articolo è sbagliato. E poi tutte le considerazioni di analisi complessa che stiamo facendo nell'articolo andrebbero menzionate e i passaggi giustificati; ripeto è stato tutto fatto mediante una bruta separazione di variabili in R, senza preoccuparsi minimamente del fatto che siamo in C! --Mr 3 7 17:22, 6 dic 2006 (CET)
Infatti se si considerano le due diramazioni del logaritmo e si tratta caso per caso la dimostrazione è corretta. In effetti l'articolo così scritto non è correttissimo: andrebbero fatte le dovute precisazioni. Ammetto che forse verrebbe un discorso un po' lungo e tortuoso, e pertanto non mi pare il modo migliore di procedere per ottenere la formula di Eulero. Se si vuole togliere quella dimostrazione si può anche togliere.
Tutte le altre invece mi sembra che non abbiano problemi.
PS solo come curiosità vi faccio notare che anche sul sito della Wolfram viene usata la dimostrazione incriminata, oltre che ovviamente quella standard con lo sviluppo in serie http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html --Hybridslinky 20:38, 21 dic 2006 (CET)
Ho cancellato la sezione per la tortuosità che la dimostrazione "integrale" nella sua forma completa comportava. --Mr 3 7 21:06, 26 dic 2006 (CET)
[modifica] Coerenza delle voci legate a e
L'affermazione proposta all'inizio dell'articolo:
La formula di Eulero, da Leonhard Euler, è una formula matematica nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. [...]La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale x...
non era coerente con il paragrafo "Funzione esponenziale complessa" nella voce Funzione esponenziale. In quel paragrafo infatti la formula di Eulero era usata come definizione della funzione esponenziale in campo complesso.
Sto provando ad uniformare tutte le voci connesse a e (costante matematica) in modo da evitare simili incogruenze. Vorrei avere l'apporto di qualche matematico professionista in questo compito.
- Mi piacerebbe se inseriste commenti sulla mia pagine --Vin79 21:27, 12 set 2007 (CEST) o dove è possibile discutere simultaneamente di tutte le voci connesse a e (costante matematica)
[modifica] Dimostrazione 2 Ma siamo sicuri?
La dimostrazione 2 mi sembra corretta, però vengono applicate proprietà che io so valere per la derivazione di una funzione reale di variabile reale rispetto ad una variabile reale.
Siamo sicuri che tutte le proprietà utilizzate valgono anche quando si deriva in campo complesso?
C'è una voce su cui approfondire l'operazione di derivazione in campo complesso?
In effetti questa dimostrazione mi sembra molto più elegante (la funzione è una costante, e in un punto vale 1) della dimostrazione 1 e quindi non vedo la necessità della dimostrazione 1 molto + laboriosa è meno intuitiva. --Vin79 23:17, 12 set 2007 (CEST)
