Jacobiano

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En cálculo vectorial, el jacobiano es una abreviación de la matriz jacobiana y su determinante, el determinante Jacobiano. Son llamados así en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

Tabla de contenidos

1 Matriz Jacobiana
- 1.1 Ejemplo
- 1.2 Matriz Jacobiana de un campo vectorial
2 Determinante Jacobiano
- 2.1 Ejemplo
3 Véase también

[editar] Matriz Jacobiana

La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Supongamos F : Rⁿ → R^m es una función que va del espacio euclidiano n-dimensional a otro espacio euclideano m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales: y₁(x₁,...,x_n), ..., y_m(x₁,...,x_n). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de F:

$\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Esta matriz es notada por

$J_F(x_1,\ldots,x_n)$

o como

$\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}.$

La i-ésima fila está dada por el gradiente de la función y_i, para i=1,...,m.

Si p es un punto de Rⁿ y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por J_F(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por J_F(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:

$F(\mathbf{x}) \approx F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})$

para x cerca de p.

[editar] Ejemplo

El Jacobiano de la función F : R³ → R³ definida como:

$F(x_1,x_2,x_3) = (x_1,5x_3,4x_2^2 - 2x_3)$

es:

$J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2\end{bmatrix}.$

No siempre un Jacobiano es cuadrado.

[editar] Matriz Jacobiana de un campo vectorial

En cálculo vectorial, la matriz Jacobiana para un campo vectorial $\vec L\;:E_{n} \to \; E_{m}$ es la matriz de orden $m x n$ que tiene como elementos a las derivadas parciales (si existen) de la función. Por ejemplo, se desea obtener la 'Matriz Jacobiana' de la diferencial $d\vec F \;(\vec x_{0})$ de una función $\vec F \;=(\vec F \;_{1}, \vec F \;_{2}, ..., \vec F \;_{n})$ de $R n$ a $R m$ en el punto $\vec x\;_{0}$ .

Usando: $\vec x \; = \vec x \;_{0} + l\vec e\;_{1}$ en la fórmula:

$\vec F \; ( \vec x \;)-\vec F \;(\vec x \;_{0})=d(\vec F \;(\vec x_{0} \;)(\vec x\; - \vec x\;_{0}) + e( \vec x\; - \vec x\;_{0} )$ .

Dividiendo por $l$ , y haciendo tender l a 0, se obtiene:

$d\vec F\;(\vec x\;_{0})(\vec e\;_{1}))= ( {\partial F\;_{1}(\vec x\;_{0}) \over \partial x_{1} \;},..., {\partial F\;_{m}(\vec x\;_{0}) \over \partial x_{1} \;})$

Este es el vector que va en la primera columna de la matriz buscada. Por analogía para $\vec e\;_{2}, ... , \vec e\;_{n}$ , se consiguen las demás columnas. De este modo, la matriz Jacobiana de $\vec F\;$ en el punto $\vec x\;_{0}$ es:

$\begin{bmatrix} {\partial F\;_{1}(\vec x\;_{0}) \over \partial x_{1} \;} & \cdots & {\partial F\;_{1}(\vec x\;_{0}) \over \partial x_{n} \;} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\partial F\;_{m}(\vec x\;_{0}) \over \partial x_{1} \;} & \cdots & {\partial F\;_{m}(\vec x\;_{0}) \over \partial x_{n} \;}\end{bmatrix}$

Esta matriz se denota también por:

$J_F(x_1,\ldots,x_n)$ o $\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}$

[editar] Determinante Jacobiano

Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz Jacobiana es cuadrada y podemos calcular su determinante, conocido como el determinante Jacobiano.

El determinante Jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante Jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del determinate en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.

[editar] Ejemplo

El determinante Jacobiano de la función F : R³ → R³ definida como:

$F(x_1,x_2,x_3)=(5x_2 , 4x_1^2 - 2 sin (x_2x_3) ,x_2 x_3 )$

es:

$J(x_1,x_2,x_3)=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=$

$=-5\cdot\begin{vmatrix} 8x_1 & -2x_2cos(x_2&x_3)\\ 0&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2.$

La función es localmente invertible excepto donde x₁=0 ó x₂=0. Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto de aproximadamente 40 veces más volumen que el original.

[editar] Véase también

Categorías: Cálculo | Cálculo vectorial | Matrices

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Tabla de contenidos

[editar] Matriz Jacobiana

[editar] Ejemplo

[editar] Matriz Jacobiana de un campo vectorial

[editar] Determinante Jacobiano

[editar] Ejemplo

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