Jacobiho determinant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jacobiho determinant (jakobián nebo též funkcionální determinant) je matematický pojem z oblasti matematické analýzy. Používá se zejména v integrálním počtu funkcí více proměnných, kde hraje esenciální úlohu ve větě o substituci.

Obsah

1 Definice
2 Použití
3 Příklad
4 Související články

[editovat] Definice

Mějme funkce $\,f_i(x_1,x_2,...,x_n)$ pro $i = 1,2,..., n$ , které mají parciální derivace $\frac{\part f_i}{\part x_k}$ . Pak Jacobiho determinant je definován jako

$\frac{\mathrm{D}(f_1,f_2,...,f_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)} = \begin{vmatrix} \frac{\part f_1}{\part x_1} & \frac{\part f_1}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_1}{\part x_n} \\ \frac{\part f_2}{\part x_1} & \frac{\part f_2}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_2}{\part x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\part f_n}{\part x_1} & \frac{\part f_n}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_n}{\part x_n} \end{vmatrix}$

Jakobián se obvykle značí zkráceným zápisem $\frac{\mathrm{D}(f_1,f_2,...,f_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)}$ .

Matice

$\begin{pmatrix} \frac{\part f_1}{\part x_1} & \frac{\part f_1}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_1}{\part x_n} \\ \frac{\part f_2}{\part x_1} & \frac{\part f_2}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_2}{\part x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\part f_n}{\part x_1} & \frac{\part f_n}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_n}{\part x_n} \end{pmatrix}$

bývá také označována jako Jacobiho matice.

[editovat] Použití

Jakobián se využívá při transformaci proměnných v integrálech.
Jakobián slouží k určení, zda dané zobrazení je regulární nebo singulární. Jacobiho matice je regulární, je-li jakobián nenulový, a singulární, je-li jakobián nulový.

[editovat] Příklad

Uvažujme transformaci určenou rovnicemi $x^\prime = x^2 + 3 y^2, y^\prime = x+y$ .

Jakobián je

$\frac{\mathrm{D}(x^\prime,y^\prime)}{\mathrm{D}(x,y)} = \begin{vmatrix} \frac{\part x^\prime}{\part x} & \frac{\part x^\prime}{\part y} \\ \frac{\part y^\prime}{\part x} & \frac{\part y^\prime}{\part y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 6y \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2x-6y$