関数行列

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関数行列（かんすうぎょうれつ）とは、座標変換

$f\colon (x_1,\ldots,x_n) \mapsto (y_1,\ldots,y_m)$

に対し、次のように定義される行列 J_f のことである。

$J_f = \begin{pmatrix} \cfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\[10pt] \vdots & \ddots & \vdots \\[3pt] \cfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial y_m}{\partial x_n} \\ \end{pmatrix}$

この行列は、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによって定義されたため、ヤコビ行列とも呼ばれる。また、 m = n の場合の関数行列の行列式 | J_f | を、関数行列式またはヤコビアンと呼ぶ。一般に良く用いられるのは行列式の方である。|J_f| は次のように表記されることもある。

$|J_f|=\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_n)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}$

[編集] 性質

関数行列は、座標変換 f の一次近似をあらわしていると見ることができる。つまり、点 p の近傍で f は

$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{p}) + J_f(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p}) + o(|\mathbf{x}|)$

といった形式で評価できる（o はランダウの記号で、誤差項と考えてよい）。

関数行列に関して連鎖律

$J_{f\circ g}(\mathbf{p})=J_f(g(\mathbf{p}))\cdot J_g(\mathbf{p})$

が成立する。これはしばしば

$J_{f \circ g} = J_f J_g$

のように略記される。恒等写像の関数行列は明らかに単位行列 E であるから、逆関数の関数行列 J_{f ^-1} は、元の関数の関数行列の逆行列、即ち J_f^-1 となる。

上の性質は積に関する式であるから、行列式に関しても同じ事が言える。

$|J_{f \circ g}| = |J_f||J_g|$

従って、逆関数の関数行列式は | J_{f ^-1} | = 1 / | J_f | となる。もし、| J_f | = 0 となるような点 S があれば、その点で | J_{f ^-1} | は定義できないため、その点での逆関数は存在しない。従って、対応は 1 対 1 にはならず、点 S に於ける座標変換は不可能となる。この時の S を特異点という。関数行列式は、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。

[編集] 極座標系に関する具体例

ここでは、いくつかの極座標系から直交座標系への座標変換で、関数行列式がどのようになるか述べる。

[編集] 円座標

円座標は、直交座標への座標変換 (x ,y ) = f (r, θ) = (r cosθ, r sinθ) を与えるから、関数行列式は

$|J_f| = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\ \end{vmatrix} = r$

となる。従って、特異点は r = 0 となる点、即ち (0,θ) である。これは直交座標での (0,0) を表す。

[編集] 円柱座標

円柱座標は、直交座標への座標変換 (x, y, z ) = f (r, θ,z ) = (r cosθ, r sinθ, z ) を与えるから、関数行列式は

$|J_f| = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = r$

となる。従って、円座標のときと同じく、特異点は r = 0 となる点、即ち (0,θ,z ) である。これは直交座標での (0,0,z ) すなわち z 軸上を表す。

[編集] 球座標

球座標は、直交座標への座標変換 (x, y, z ) = f (r, θ,φ ) = (r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ) を与えるから、関数行列式は

$|J_f| = \begin{vmatrix} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \end{vmatrix} = r^2 \sin\theta$

となる。従って、特異点は r = 0 または sinθ = 0 となる点、即ち (0,θ,φ) と (r, 0,φ)、(r, π,φ) である。これは直交座標での (0,0,0)、(0,0,r )、(0,0,-r ) すなわち z 軸上を表す。

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